Uma empresa vende um produto por \mathrm{R} \ 50,00 cada. O custo fixo mensal é deé\mathrm{R} $ 2000,00 e o custo variável por unidade produzida é deáé\mathrm{R} $ 30,00$.
(a) Escreva a função lucro L(x);
(b) Determine o ponto de equilíbrio (quantidade mínima para não ter prejuízo).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (valores retirados diretamente do enunciado):
  • Preço de venda por unidade: \mathrm{R}\$\,50{,}00 por unidade.
  • Custo fixo mensal: \mathrm{R}\$\,2000{,}00.
  • Custo variável por unidade produzida: \mathrm{R}\$\,30{,}00 por unidade.
O enunciado pede duas coisas:
(a) escrever a função lucro L(x), onde x é a quantidade de unidades vendidas;
(b) determinar o ponto de equilíbrio — ou seja, a quantidade mínima x para que a empresa não tenha prejuízo (lucro zero ou positivo).

Passo 2

Entender o que é receita (faturamento) e como modelá-la. A receita total R(x) é o dinheiro recebido pela venda de x unidades. Se o preço por unidade é \mathrm{R}\$\,50{,}00, a receita é
R(x)=50x.
Explicação: aqui x é o número de unidades vendidas (um número inteiro não negativo na prática) e o coeficiente 50 é o preço por unidade em reais. Multiplicar preço por quantidade dá o faturamento total.

Passo 3

Entender o que é custo total e como modelá-lo. O custo total C(x) tem duas partes:
  • custo fixo (não depende de x): \mathrm{R}\$\,2000{,}00;
  • custo variável (proporcional a x): \mathrm{R}\$\,30{,}00 por unidade.
Portanto a função custo total é
C(x)=2000+30x.
Explicação: 2000 é o montante pago mesmo que x=0 (aluguel, salários fixos etc.). Cada unidade produzida acrescenta 30 reais, por isso o termo 30x.

Passo 4

Definição de lucro: o lucro L(x) é a diferença entre receita e custo,
L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as expressões anteriores:
L(x)=50x-(2000+30x).
Agora vamos simplificar essa expressão, passo a passo.

Passo 5

Simplificação algébrica do lucro. Primeiro distribuir o sinal negativo:
L(x)=50x-2000-30x.
Agora soma os termos semelhantes em x:
50x-30x=20x.
Logo a função lucro fica
L(x)=20x-2000.
Explicação interpretativa: o coeficiente 20 é o lucro por unidade vendida (receita unitária 50 menos custo variável unitário 30). O termo -2000 representa o custo fixo que precisa ser coberto antes de gerar lucro líquido.

Passo 6

Responder (a): a função lucro pedida é
L(x)=20x-2000.
Observação prática: para cada unidade vendida a mais, o lucro aumenta em \mathrm{R}\$\,20{,}00, mas no início é preciso cobrir os \mathrm{R}\$\,2000{,}00 fixos.

Passo 7

Determinar o ponto de equilíbrio (item (b)). O ponto de equilíbrio ocorre quando o lucro é zero: L(x)=0. Usamos a função encontrada:
20x-2000=0.
Resolver para x:
20x=2000,
x=\frac{2000}{20}.
Fazendo a divisão (passo a passo): 2000\div 20 = 100. Portanto
x=100.

Passo 8

Interpretação do resultado e verificação numérica. Se a empresa vende 100 unidades:
  • receita: R(100)=50\cdot 100=5000 reais;
  • custo: C(100)=2000+30\cdot 100=2000+3000=5000 reais;
    logo L(100)=5000-5000=0. Para x>100 há lucro positivo; para x<100 há prejuízo.

Resposta

(a) L(x)=20x-2000
(b) x=100 unidades

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