Uma empresa vende um produto por
50,00
\mathrm{R} $
\mathrm{R} $ 30,00$.
(a) Escreva a função lucro
;
(b) Determine o ponto de equilíbrio (quantidade mínima para não ter prejuízo).
(a) Escreva a função lucro
(b) Determine o ponto de equilíbrio (quantidade mínima para não ter prejuízo).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (valores retirados diretamente do enunciado):
- Preço de venda por unidade:
por unidade. - Custo fixo mensal:
. - Custo variável por unidade produzida:
por unidade.
O enunciado pede duas coisas:
(a) escrever a função lucro , onde
é a quantidade de unidades vendidas;
(b) determinar o ponto de equilíbrio — ou seja, a quantidade mínima para que a empresa não tenha prejuízo (lucro zero ou positivo).
(a) escrever a função lucro
(b) determinar o ponto de equilíbrio — ou seja, a quantidade mínima
Passo 2
Entender o que é receita (faturamento) e como modelá-la. A receita total
é o dinheiro recebido pela venda de
unidades. Se o preço por unidade é
, a receita é
Explicação: aqui
é o número de unidades vendidas (um número inteiro não negativo na prática) e o coeficiente
é o preço por unidade em reais. Multiplicar preço por quantidade dá o faturamento total.
Passo 3
Entender o que é custo total e como modelá-lo. O custo total
tem duas partes:
- custo fixo (não depende de
): ; - custo variável (proporcional a
): por unidade.
Portanto a função custo total é
Explicação:
é o montante pago mesmo que
(aluguel, salários fixos etc.). Cada unidade produzida acrescenta
reais, por isso o termo
.
Passo 4
Definição de lucro: o lucro
é a diferença entre receita e custo,
Substituindo as expressões anteriores:
Agora vamos simplificar essa expressão, passo a passo.
Passo 5
Simplificação algébrica do lucro. Primeiro distribuir o sinal negativo:
Agora soma os termos semelhantes em
:
Logo a função lucro fica
Explicação interpretativa: o coeficiente
é o lucro por unidade vendida (receita unitária
menos custo variável unitário
). O termo
representa o custo fixo que precisa ser coberto antes de gerar lucro líquido.
Passo 6
Responder (a): a função lucro pedida é
Observação prática: para cada unidade vendida a mais, o lucro aumenta em
, mas no início é preciso cobrir os
fixos.
Passo 7
Determinar o ponto de equilíbrio (item (b)). O ponto de equilíbrio ocorre quando o lucro é zero:
. Usamos a função encontrada:
Resolver para
:
Fazendo a divisão (passo a passo):
. Portanto
Passo 8
Interpretação do resultado e verificação numérica. Se a empresa vende
unidades:
- receita:
reais; - custo:
reais;
logo. Para há lucro positivo; para há prejuízo.
Resposta
(a)
(b) unidades
(b)