Resolva o problema de valor inicial:
y^prime+y=cos x ; y=12 quando x=0

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear:
y' + y = cos x,
com a condição inicial y(0)=tfrac12.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear pelo método do fator integrante.

Passo 2

Vamos achar o fator integrante mu(x). Como o coeficiente de y é 1, tomamos
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^x y' + e^x y = e^x cos x,
e o lado esquerdo é justo a derivada do produto e^x y:
(e^x y)' = e^x cos x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral (e^x y)' ,dx = integral e^x cos x ,dx
No lado esquerdo fica simplesmente e^x y. Para o lado direito, usamos integração por partes ou fórmula conhecida, chegando a
integral e^x cos x ,dx = e^x2l(sin x + cos xr) + C
Portanto,
e^x y = e^x2l(sin x + cos xr) + C
e isolando y,
y = 12l(sin x + cos xr) + C e^-x

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac12. Em x=0, temos
y(0) = 12l(sin0 + cos0r) + C e^0 = 12(0+1) + C = 12 + C
Como isso deve ser igual a tfrac12, concluímos que C=0.

Passo 5

Logo, a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(x) = 12l(sin x + cos xr)

Resposta

y(x) = sin x + cos x2

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