Resolva o problema de valor inicial:
quando
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear:
com a condição inicial
.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear pelo método do fator integrante.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear pelo método do fator integrante.
Passo 2
Vamos achar o fator integrante
. Como o coeficiente de
é
, tomamos
Multiplicando a equação original por
, obtemos
e o lado esquerdo é justo a derivada do produto
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo fica simplesmente
. Para o lado direito, usamos integração por partes ou fórmula conhecida, chegando a
Portanto,
e isolando
,
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Em
, temos
Como isso deve ser igual a
, concluímos que
.
Passo 5
Logo, a solução que satisfaz o problema de valor inicial é