Encontre a curvatura da curva r(t)=(e^t cos (t), e^t sen(t), t) no ponto (1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=l(e^tcos t,;e^tsin t,;tr)
e pede a curvatura no ponto (1,0,0).
Para curvas em R^3, a curvatura é
kappa(t)=l|r'(t)times r''(t)r|l|r'(t)r|^3
Vamos então: (i) achar o parâmetro t do ponto dado, (ii) calcular r' e r'', (iii) montar o produto vetorial e normas.

Passo 2

Encontrar t tal que
r(t)=(1,0,0)
Das componentes temos
e^tcos t=1, e^tsin t=0, t=0
A única solução é t=0, pois sin t=0 e cos t=1 exigem t=0.

Passo 3

Calcular as derivadas:
r'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;1r),
r''(t)=l(-2e^tsin t,;2e^tcos t,;0r)
Em t=0 isso dá
r'(0)=(1,1,1), r''(0)=(0,2,0)

Passo 4

Fazer o produto vetorial e normas:
r'(0)times r''(0) = i&j&k 1&1&1 0&2&0 =(-2,0,2),
l|r'(0)times r''(0)r|=raiz(-2)^2+0^2+2^2=raiz8=2raiz2,
l|r'(0)r|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
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kappa(0) =2raiz2(raiz3)^3 =2raiz23raiz3 =2raiz69

Resposta

kappa=2raiz69

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