Calcule o divergente do campo vetorial F(u, v, theta)=u v cos theta u+u v sin ^2 theta v-u^2 theta, em coordenadas parabólicas.

Passo 1

O enunciado pede o divergente do campo
vec F(u,v,theta)=u,vcostheta,hat u + u,vsin^2theta,hat v - u^2,hattheta
em coordenadas parabólicas. Vamos usar a fórmula do divergente em coordenadas ortogonais, para a qual precisamos dos fatores de escala dessas coordenadas.

Passo 2

Nas coordenadas parabólicas tridimensionais (u,v,theta) definidas por
x = u,vcostheta, y = u,vsintheta, z = tfrac12l(u^2 - v^2r),
os fatores de escala são
hu = raizv^2 + u^2, hv = raizu^2 + v^2, htheta = u,v
Note que hu = hv = h, com h = raizu^2+v^2.

Passo 3

Em um sistema ortogonal, o divergente é
div vec F = 1hu,hv,htheta l[ partialpartial ul(Fu,hv,hthetar) + partialpartial vl(Fv,htheta,hur) + partialpartial thetal(Ftheta,hu,hvr) r]

Passo 4

Calculemos o primeiro termo.
Fu,hv,htheta = l(u,vcosthetar),l(hr),l(u,vr) = u^2,v^2,h,costheta
Agora
partialpartial ul(u^2,v^2,h,costhetar) = v^2costheta;partialpartial ul(u^2,hr)
Como partial(u^2h)/partial u = 2u,h + u^2,(u/h) = 3u^3+2u,v^2h, vem
partialpartial ul(Fu,hv,hthetar) = u,v^2,(3u^2+2v^2),costhetah

Passo 5

Para o segundo termo,
Fv,htheta,hu = l(u,vsin^2thetar),l(u,vr),h = u^2,v^2,h,sin^2theta
e
partialpartial vl(u^2,v^2,h,sin^2thetar) = u^2sin^2theta;partialpartial v(v^2h) = u^2sin^2theta;2v,h + v^2,(v/h)1 = u^2,(2u^2v+3v^3),sin^2thetah

Passo 6

O terceiro termo é
Ftheta,hu,hv = l(-u^2r),h^2 = -u^2,(u^2+v^2),
que não depende de theta, logo
partialpartialthetal(Ftheta,hu,hvr)=0

Passo 7

Substituindo na fórmula e lembrando que hu,hv,htheta = h^2,u,v, temos
divvec F = 1h^2,u,v l[ u,v^2,(3u^2+2v^2)costhetah + u^2,(2u^2v+3v^3)sin^2thetah r] = v(3u^2+2v^2)costheta + u(2u^2+3v^2)sin^2theta(u^2+v^2)^3/2

Resposta

boxeddivvec F = v,(3u^2+2v^2),costheta ;+;u,(2u^2+3v^2),sin^2thetal(u^2+v^2r)^3/2

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