As funções y1=e^x, y2=e^2 x, y3=e^3 x formam um conjunto linearmente independente de funções.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Vamos analisar se as funções y1=e^x , y2=e^2x e y3=e^3x são linearmente independentes. Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente, um conceito da Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se c1y1 + c2y2 + c3y3 = 0 para todo x , então necessariamente c1 = c2 = c3 = 0 .

Passo 3

Vamos montar a combinação linear das três funções e igualar a zero:
c1e^x + c2e^2x + c3e^3x = 0
Isso deve ser verdadeiro para todo valor de x .

Passo 4

Para resolver essa equação, uma abordagem comum é considerar valores específicos de x que simplificam a equação. Por exemplo, podemos escolher x = 0 , x = 1 e x = 2 para formar um sistema de equações:
Para x = 0 :
c1e^0 + c2e^0 + c3e^0 = c1 + c2 + c3 = 0
Para x = 1 :
c1e^1 + c2e^2 + c3e^3 = c1e + c2e^2 + c3e^3 = 0
Para x = 2 :
c1e^2 + c2e^4 + c3e^6 = c1e^2 + c2e^4 + c3e^6 = 0

Passo 5

Agora temos o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = 0 c1e + c2e^2 + c3e^3 = 0 c1e^2 + c2e^4 + c3e^6 = 0
Para que o único solução seja c1 = c2 = c3 = 0 , o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.

Passo 6

A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & 1 e & e^2 & e^3 e^2 & e^4 & e^6
Calculando o determinante dessa matriz:
det = 1(e^2 cdot e^6 - e^4 cdot e^3) - 1(e cdot e^6 - e^3 cdot e^2) + 1(e cdot e^4 - e^2 cdot e^2)
= 1(e^8 - e^7) - 1(e^7 - e^5) + 1(e^5 - e^4)
= e^8 - e^7 - e^7 + e^5 + e^5 - e^4
= e^8 - 2e^7 + 2e^5 - e^4
Esse valor é diferente de zero, pois e é uma constante positiva e as potências de e são todas distintas.

Passo 7

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que o único solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0 . Portanto, as funções y1=e^x , y2=e^2x e y3=e^3x são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. As funções y1=e^x , y2=e^2x e y3=e^3x formam um conjunto linearmente independente.

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