As funções formam um conjunto linearmente independente de funções.
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Vamos analisar se as funções , e são linearmente independentes. Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente, um conceito da Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se para todo , então necessariamente .
Passo 3
Vamos montar a combinação linear das três funções e igualar a zero:
Isso deve ser verdadeiro para todo valor de .
Passo 4
Para resolver essa equação, uma abordagem comum é considerar valores específicos de que simplificam a equação. Por exemplo, podemos escolher , e para formar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Para que o único solução seja c1 = c2 = c3 = 0 , o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.
Esse valor é diferente de zero, pois e é uma constante positiva e as potências de e são todas distintas.
Passo 7
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que o único solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0 . Portanto, as funções y1=e^x , y2=e^2x e y3=e^3x são linearmente independentes.
Resposta
Verdadeiro. As funções y1=e^x , y2=e^2x e y3=e^3x formam um conjunto linearmente independente.