Seja f(x, y)=integraly^2^x^2 e^-t^2 d t. Calcule partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integraly^2^x^2 e^-t^2,dt
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
O método envolve a regra de Leibniz para derivada de integral com limites que dependem de x e y, e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para partial fpartial x, o limite superior é b(x,y)=x^2 e o inferior não depende de x. Pela regra de Leibniz:
partialpartial xintegraly^2^x^2 e^-t^2,dt = e^-l(x^2r)^2cdotddx(x^2) = e^-x^4cdot 2x
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partial fpartial x(x,y)=2x,e^-x^4

Passo 3

Para partial fpartial y, o limite inferior é a(x,y)=y^2 e o superior não depende de y. Pela regra de Leibniz:
partialpartial yintegraly^2^x^2 e^-t^2,dt = -,e^-l(y^2r)^2cdotddy(y^2) = -,e^-y^4cdot 2y
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partial fpartial y(x,y)=-2y,e^-y^4

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2x,e^-x^4, partial fpartial y(x,y)=-2y,e^-y^4

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