Calcule o rotacional do campo vetorial F(u, v, theta)=u v cos theta u+u v sin ^2 theta v-u^2 theta, em coordenadas parabólicas.

Passo 1

O enunciado pede o rotacional de

nas coordenadas parabólicas .
Para isso precisamos:
  1. Saber os fatores de escala dessas coordenadas;
  2. Usar a fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais:

Passo 2

As coordenadas parabólicas tridimensionais definem
x = u,vcostheta, y = u,vsintheta, z=tfrac12(u^2-v^2),
dá-se o elemento de linha
ds^2=(u^2+v^2)l(du^2+dv^2r)+u^2v^2,dtheta^2
Logo os fatores de escala são
hu=raizu^2+v^2, hv=raizu^2+v^2, htheta=u,v

Passo 3

Escrevemos as componentes de vec F e os produtos hiFi:
Fu = u,vcostheta, Fv = u,vsin^2theta, Ftheta = -,u^2,
huFu = raizu^2+v^2;u,vcostheta, hvFv = raizu^2+v^2;u,vsin^2theta, htheta Ftheta = u,v;(-u^2) = -u^3v

Passo 4

Cálculo de (nablatimesvec F)u:
partialvl(htheta Fthetar) =partialv(-u^3v)=-u^3,
partialthetal(hvFvr) =partialthetal(raizu^2+v^2,u,vsin^2thetar) =raizu^2+v^2,u,v,(2sinthetacostheta) =raizu^2+v^2,u,v,sin2theta
Portanto
(nablatimesvec F)u =1hv,htheta l[-u^3-raizu^2+v^2,u,v,sin2thetar] =-u^3u,v,raizu^2+v^2 -sin2theta =-u^2vraizu^2+v^2-sin2theta

Passo 5

Cálculo de (nablatimesvec F)v:
partialthetal(huFur) =partialthetal(raizu^2+v^2,u,vcosthetar) =-raizu^2+v^2,u,v,sintheta,
partialul(htheta Fthetar) =partialu(-u^3v)=-3u^2v
Logo
(nablatimesvec F)v =1htheta,hu l[-raizu^2+v^2,u,v,sintheta -(-3u^2v)r] =-raizu^2+v^2,u,v,sintheta+3u^2vu,v,raizu^2+v^2 =-sintheta+3uraizu^2+v^2

Passo 6

Cálculo de (nablatimesvec F)theta:
partialul(hvFvr) =partialul(raizu^2+v^2,u,vsin^2thetar) =v,sin^2theta, 2u^2+v^2raizu^2+v^2,
partialvl(huFur) =partialvl(raizu^2+v^2,u,vcosthetar) =u,costheta, u^2+2v^2raizu^2+v^2
Portanto
(nablatimesvec F)theta =1hu,hv v,(2u^2+v^2)sin^2theta -;u,(u^2+2v^2)costheta raizu^2+v^2 =v,(2u^2+v^2)sin^2theta -;u,(u^2+2v^2)costheta (u^2+v^2)^3/2

Resposta

nablatimesvec F =l(-u^2vraizu^2+v^2-sin2thetar)hat u +l(-sintheta+3uraizu^2+v^2r)hat v +v,(2u^2+v^2)sin^2theta -;u,(u^2+2v^2)costheta (u^2+v^2)^3/2;hattheta

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