Calcule o divergente das funções: (i) v=(r cos theta) r+(r sin theta) theta+(r sin theta cos phi) phi; (ii) v=s(2+sin ^2 phi) s+ (s sin phi cos phi) phi+3 z z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente de duas funções vetoriais diferentes. O divergente é uma medida de quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do divergente em coordenadas esféricas e cilíndricas, dependendo de como a função está expressa. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (i): A função vetorial está em coordenadas esféricas:
v = (r cos theta) r + (r sin theta) theta + (r sin theta cos phi) phi
Aqui, r , theta e phi são as coordenadas esféricas, e r , theta , phi são os vetores unitários nas direções correspondentes.
Para calcular o divergente em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
nabla cdot v = 1r^2 partialpartial r (r^2 vr) + 1r sin theta partialpartial theta (vtheta sin theta) + 1r sin theta partial vphipartial phi
Onde vr , vtheta e vphi são as componentes do vetor v nas direções r , theta e phi , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da função vetorial:
vr = r cos theta vtheta = r sin theta vphi = r sin theta cos phi
Agora, vamos calcular cada termo do divergente separadamente.

Passo 4

Primeiro termo:
1r^2 partialpartial r (r^2 vr) = 1r^2 partialpartial r (r^2 cdot r cos theta) = 1r^2 partialpartial r (r^3 cos theta) = 1r^2 (3r^2 cos theta) = 3 cos theta

Passo 5

Segundo termo:
1r sin theta partialpartial theta (vtheta sin theta) = 1r sin theta partialpartial theta (r sin theta cdot sin theta) = 1r sin theta partialpartial theta (r sin^2 theta) = 1r sin theta (2r sin theta cos theta) = 2r sin theta cos thetar sin theta = 2 cos theta

Passo 6

Terceiro termo:
1r sin theta partial vphipartial phi = 1r sin theta partialpartial phi (r sin theta cos phi) = 1r sin theta (-r sin theta sin phi) = -r sin theta sin phir sin theta = -sin phi

Passo 7

Agora, somando os três termos:
nabla cdot v = 3 cos theta + 2 cos theta - sin phi = 5 cos theta - sin phi

Passo 8

Parte (ii): A função vetorial está em coordenadas cilíndricas:
v = s(2 + sin^2 phi) s + (s sin phi cos phi) phi + 3z z
Aqui, s , phi e z são as coordenadas cilíndricas, e s , phi , z são os vetores unitários nas direções correspondentes.
A fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas é:
nabla cdot v = 1s partialpartial s (s vs) + 1s partial vphipartial phi + partial vzpartial z
Onde vs , vphi e vz são as componentes do vetor v nas direções s , phi e z , respectivamente.

Passo 9

Identificando as componentes:
vs = s(2 + sin^2 phi) vphi = s sin phi cos phi vz = 3z
Vamos calcular cada termo do divergente.

Passo 10

Primeiro termo:
1s partialpartial s (s vs) = 1s partialpartial s (s cdot s(2 + sin^2 phi)) = 1s partialpartial s (s^2 (2 + sin^2 phi)) = 1s (2s (2 + sin^2 phi)) = 2s (2 + sin^2 phi)s = 2 (2 + sin^2 phi) = 4 + 2 sin^2 phi

Passo 11

Segundo termo:
1s partial vphipartial phi = 1s partialpartial phi (s sin phi cos phi) = 1s (s (cos^2 phi - sin^2 phi)) = s (cos^2 phi - sin^2 phi)s = cos^2 phi - sin^2 phi

Passo 12

Terceiro termo:
partial vzpartial z = partialpartial z (3z) = 3

Passo 13

Somando os três termos:
nabla cdot v = 4 + 2 sin^2 phi + cos^2 phi - sin^2 phi + 3 = (4 + 3) + (2 sin^2 phi - sin^2 phi + cos^2 phi) = 7 + (sin^2 phi + cos^2 phi) = 7 + 1 = 8
(Lembrando que sin^2 phi + cos^2 phi = 1 )

Resposta

(i) O divergente é nabla cdot v = 5 cos theta - sin phi
(ii) O divergente é nabla cdot v = 8

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