Calcule o divergente das funções: (i)
; (ii)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente de duas funções vetoriais diferentes. O divergente é uma medida de quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do divergente em coordenadas esféricas e cilíndricas, dependendo de como a função está expressa. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (i): A função vetorial está em coordenadas esféricas:
Aqui,
,
e
são as coordenadas esféricas, e
,
,
são os vetores unitários nas direções correspondentes.
Para calcular o divergente em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
Onde
,
e
são as componentes do vetor
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da função vetorial:
Agora, vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Passo 4
Primeiro termo:
Passo 5
Segundo termo:
Passo 6
Terceiro termo:
Passo 7
Agora, somando os três termos:
Passo 8
Parte (ii): A função vetorial está em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
,
e
são as coordenadas cilíndricas, e
,
,
são os vetores unitários nas direções correspondentes.
A fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas é:
Onde
,
e
são as componentes do vetor
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 9
Identificando as componentes:
Vamos calcular cada termo do divergente.
Passo 10
Primeiro termo:
Passo 11
Segundo termo:
Passo 12
Terceiro termo:
Passo 13
Somando os três termos:
(Lembrando que
)
Resposta
(i) O divergente é
(ii) O divergente é