Calcule a integral de linha da função
da origem ao ponto
através de duas rotas diferentes:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha! A gente tem um campo vetorial
e queremos calcular a integral dessa função desde a origem
até o ponto
por duas rotas diferentes. Pra resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar cada trecho das rotas e calcular a integral em cada segmento. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela rota a):
.
Primeiro segmento:
Aqui, estamos movendo só na direção do
, então
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Passo 3
Segundo segmento:
Agora, estamos movendo na direção do
, mantendo
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Passo 4
Terceiro segmento:
Aqui, estamos movendo na direção do
, mantendo
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Passo 5
Agora vamos para a rota b):
.
Primeiro segmento:
Estamos movendo só na direção do
, mantendo
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Passo 6
Segundo segmento:
Agora, estamos movendo na direção do
, mantendo
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Passo 7
Terceiro segmento:
Aqui, estamos movendo na direção do
, mantendo
e
.
- Parametrização:
varia de 0 a 1, , . - Campo vetorial simplificado:
. - Diferencial de posição:
. - Produto escalar:
. - Integral:
.
Resposta
- Integral da rota a):
. - Integral da rota b):
.