Calcule a integral de linha da função v=x^2 i+2 y z j+y^2 z da origem ao ponto (1,1,1) através de duas rotas diferentes:
a) (0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1).
b) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha! A gente tem um campo vetorial v = x^2 i + 2 y z j + y^2 z e queremos calcular a integral dessa função desde a origem (0,0,0) até o ponto (1,1,1) por duas rotas diferentes. Pra resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar cada trecho das rotas e calcular a integral em cada segmento. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela rota a): (0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1).
Primeiro segmento: (0,0,0) (1,0,0)
Aqui, estamos movendo só na direção do x, então y = 0 e z = 0.
  • Parametrização: x varia de 0 a 1, y = 0, z = 0.
  • Campo vetorial simplificado: v = x^2 i + 0 j + 0 z = x^2 i.
  • Diferencial de posição: dr = dx i.
  • Produto escalar: v cdot dr = x^2 dx.
  • Integral: integral0^1 x^2 dx = 13.

Passo 3

Segundo segmento: (1,0,0) (1,1,0)
Agora, estamos movendo na direção do y, mantendo x = 1 e z = 0.
  • Parametrização: y varia de 0 a 1, x = 1, z = 0.
  • Campo vetorial simplificado: v = 1^2 i + 0 j + 0 z = i.
  • Diferencial de posição: dr = dy j.
  • Produto escalar: v cdot dr = 1 cdot 0 + 0 cdot dy + 0 cdot 0 = 0.
  • Integral: integral0^1 0 , dy = 0.

Passo 4

Terceiro segmento: (1,1,0) (1,1,1)
Aqui, estamos movendo na direção do z, mantendo x = 1 e y = 1.
  • Parametrização: z varia de 0 a 1, x = 1, y = 1.
  • Campo vetorial simplificado: v = 1^2 i + 2 cdot 1 cdot z j + 1^2 cdot z z = i + 2z j + z z.
  • Diferencial de posição: dr = dz k.
  • Produto escalar: v cdot dr = 1 cdot 0 + 2z cdot 0 + z cdot dz = z , dz.
  • Integral: integral0^1 z , dz = 12.

Passo 5

Agora vamos para a rota b): (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1).
Primeiro segmento: (0,0,0) (0,0,1)
Estamos movendo só na direção do z, mantendo x = 0 e y = 0.
  • Parametrização: z varia de 0 a 1, x = 0, y = 0.
  • Campo vetorial simplificado: v = 0 i + 0 j + 0 z = 0.
  • Diferencial de posição: dr = dz k.
  • Produto escalar: v cdot dr = 0.
  • Integral: integral0^1 0 , dz = 0.

Passo 6

Segundo segmento: (0,0,1) (0,1,1)
Agora, estamos movendo na direção do y, mantendo x = 0 e z = 1.
  • Parametrização: y varia de 0 a 1, x = 0, z = 1.
  • Campo vetorial simplificado: v = 0 i + 2 y cdot 1 j + y^2 cdot 1 z = 2y j + y^2 z.
  • Diferencial de posição: dr = dy j.
  • Produto escalar: v cdot dr = 0 cdot 0 + 2y cdot dy + y^2 cdot 0 = 2y , dy.
  • Integral: integral0^1 2y , dy = 1.

Passo 7

Terceiro segmento: (0,1,1) (1,1,1)
Aqui, estamos movendo na direção do x, mantendo y = 1 e z = 1.
  • Parametrização: x varia de 0 a 1, y = 1, z = 1.
  • Campo vetorial simplificado: v = x^2 i + 2 cdot 1 cdot 1 j + 1^2 cdot 1 z = x^2 i + 2 j + z.
  • Diferencial de posição: dr = dx i.
  • Produto escalar: v cdot dr = x^2 cdot dx + 2 cdot 0 + 1 cdot 0 = x^2 , dx.
  • Integral: integral0^1 x^2 , dx = 13.

Resposta

  • Integral da rota a): 56.
  • Integral da rota b): 43.

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