Mostre que uma força central arbitrária
é conservativa. Sugestão: use a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos lá! A gente quer mostrar que uma força central qualquer, que a gente representa como
, é uma força conservativa. Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo de força. Para resolver isso, vamos usar a expressão do rotacional em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força conservativa. Uma força é conservativa se o seu trabalho não depende do caminho seguido, ou seja, depende apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso acontece quando o rotacional da força é zero:
.
Passo 3
Agora, vamos ver como calcular o rotacional em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas
, o rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Passo 4
No nosso caso, a força é central, ou seja,
. Isso significa que as componentes
e
são zero:
e
. Vamos substituir essas no rotacional:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Vimos que o rotacional de
é zero. Portanto, pela definição, a força central é conservativa.
Resposta
A força central
é conservativa porque seu rotacional é zero.