Mostre que uma força central arbitrária F(r)=f(r) r é conservativa. Sugestão: use a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos lá! A gente quer mostrar que uma força central qualquer, que a gente representa como F(r) = f(r) r, é uma força conservativa. Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo de força. Para resolver isso, vamos usar a expressão do rotacional em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força conservativa. Uma força é conservativa se o seu trabalho não depende do caminho seguido, ou seja, depende apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso acontece quando o rotacional da força é zero: nabla times F = 0.

Passo 3

Agora, vamos ver como calcular o rotacional em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), o rotacional de um campo vetorial F = Fr r + Ftheta theta + Fphi phi é dado por:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta (Fphi sin theta) - partial Fthetapartial phi ] r + 1r [ 1sin theta partial Frpartial phi - partialpartial r (r Fphi) ] theta + 1r [ partialpartial r (r Ftheta) - partial Frpartial theta ] phi

Passo 4

No nosso caso, a força é central, ou seja, F(r) = f(r) r. Isso significa que as componentes theta e phi são zero: Ftheta = 0 e Fphi = 0. Vamos substituir essas no rotacional:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta (0 cdot sin theta) - partial 0partial phi ] r + 1r [ 1sin theta partial f(r)partial phi - partialpartial r (r cdot 0) ] theta + 1r [ partialpartial r (r cdot 0) - partial f(r)partial theta ] phi
Simplificando cada termo:
nabla times F = 1r sin theta [0 - 0] r + 1r [ 1sin theta cdot 0 - 0 ] theta + 1r [0 - 0] phi = 0

Passo 5

Vimos que o rotacional de F(r) = f(r) r é zero. Portanto, pela definição, a força central é conservativa.

Resposta

A força central F(r) = f(r) r é conservativa porque seu rotacional é zero.

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