Mostre que
x dd x(de<a(x))=-de<a(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que:
x dd x(de<a(x)) = -de<a(x)
Estamos trabalhando com funções distribuídas, mais especificamente com a delta de Dirac. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas da delta de Dirac e regras de derivação. Precisamos entender como a delta de Dirac se comporta quando multiplicada por uma variável e derivada em relação a essa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a delta de Dirac, de<a(x), tem a propriedade de “pincelar” um ponto específico, ou seja, para qualquer função f(x) contínua:
integral-infty^infty de<a(x) f(x) , dx = f(0)
Isso significa que a delta de Dirac é zero em todos os lugares, exceto em x = 0, onde ela é “infinita” de uma maneira que a integral dela seja igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar a derivada da delta de Dirac. A derivada de<a'(x) é definida de forma que, para qualquer função suave f(x):
integral-infty^infty de<a'(x) f(x) , dx = -f'(0)
Essa é uma propriedade importante que vamos usar no nosso cálculo.

Passo 4

Vamos agora trabalhar com a expressão x de<a'(x). Queremos entender como essa expressão se comporta quando integrada contra uma função de teste f(x). Então, escrevemos:
integral-infty^infty x de<a'(x) f(x) , dx
Vamos usar integração por partes aqui. Assim, identificamos:
  • u = x f(x)
  • dv = de<a'(x) dx
Então, derivando e integrando, temos:
  • du = [f(x) + x f'(x)] dx
  • v = de<a(x)

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo:
integral-infty^infty x de<a'(x) f(x) , dx = [x f(x) de<a(x)]-infty^infty - integral-infty^infty de<a(x) [f(x) + x f'(x)] , dx
A primeira parte [x f(x) de<a(x)]-infty^infty é zero porque de<a(x) é zero em todos os lugares exceto em x = 0, e em x = 0, x f(x) = 0.

Passo 6

Então, sobra:
- integral-infty^infty de<a(x) f(x) , dx - integral-infty^infty x de<a(x) f'(x) , dx
O segundo termo integral x de<a(x) f'(x) , dx também é zero porque x de<a(x) = 0 para todo x (a delta está concentrada em x=0, onde x=0).
Portanto, a expressão fica:
- integral-infty^infty de<a(x) f(x) , dx = -f(0)

Passo 7

Agora, sabemos que a ação de x de<a'(x) sobre f(x) deu -f(0). Por outro lado, sabemos também que de<a(x) agindo sobre f(x) f(0). Então, temos:
x de<a'(x) = -de<a(x)

Resposta

Portanto,
x dd x(de<a(x)) = -de<a(x)

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