Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que:
Estamos trabalhando com funções distribuídas, mais especificamente com a delta de Dirac. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas da delta de Dirac e regras de derivação. Precisamos entender como a delta de Dirac se comporta quando multiplicada por uma variável e derivada em relação a essa variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a delta de Dirac,
, tem a propriedade de “pincelar” um ponto específico, ou seja, para qualquer função
contínua:
Isso significa que a delta de Dirac é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela é “infinita” de uma maneira que a integral dela seja igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar a derivada da delta de Dirac. A derivada
é definida de forma que, para qualquer função suave
:
Essa é uma propriedade importante que vamos usar no nosso cálculo.
Passo 4
Vamos agora trabalhar com a expressão
. Queremos entender como essa expressão se comporta quando integrada contra uma função de teste
. Então, escrevemos:
Vamos usar integração por partes aqui. Assim, identificamos:
Então, derivando e integrando, temos:
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
A primeira parte
é zero porque
é zero em todos os lugares exceto em
, e em
,
.
Passo 6
Então, sobra:
O segundo termo
também é zero porque
para todo
(a delta está concentrada em
, onde
).
Portanto, a expressão fica:
Passo 7
Agora, sabemos que a ação de
sobre
deu
. Por outro lado, sabemos também que
agindo sobre
dá
. Então, temos:
Resposta
Portanto,