Calcule o divergente operatorname{div} \vec{f} do campo vetorial dado abaixo:
\dot{F}(x, y, z)=2 x^{2} y^{2} \dot{i}+3 x y z \dot{j}+y^{2} z \dot{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial
\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=2x^{2}y^{2}\,\vec{i}+3xyz\,\vec{j}+y^{2}z\,\vec{k}.
O conteúdo é o operador divergente em campos vetoriais, cuja definição é
\operatorname{div}\vec{F} =\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +\frac{\partial F_{2}}{\partial y} +\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.

Passo 2

Identificamos as componentes:
F_{1}(x,y,z)=2x^{2}y^{2},\quad F_{2}(x,y,z)=3xyz,\quad F_{3}(x,y,z)=y^{2}z.
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y^{2}) =2\cdot 2x\,y^{2} =4x\,y^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}(3xyz) =3x\,z.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}z) =y^{2}.

Passo 6

Somando as derivadas parciais, obtemos
\operatorname{div}\vec{F} =4x\,y^{2}+3x\,z+y^{2}.

Resposta

\operatorname{div}\vec{F}(x,y,z)=4x\,y^{2}+3x\,z+y^{2}.

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