Calcule o divergente operatorname{div} \vec{f} do campo vetorial dado abaixo:
\dot{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \dot{i}+\operatorname{sen}\left(x^{2}-y^{2}\right) \dot{j}+\cos (2 z) \dot{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,\mathbf{i} + \sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,\mathbf{j} + \cos(2z)\,\mathbf{k},
e pede o divergente \div \vec{F}. Para isso usaremos a definição
\div \vec{F} = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z},
ou seja, somamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável.

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial F_{x}}{\partial x} em que F_{x}(x,y,z)=x^{2}-y^{2}. Como y é tratado como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = 2x.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial F_{y}}{\partial y} em que F_{y}(x,y,z)=\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = \cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = \cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\cdot(-2y) = -2y\,\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos \displaystyle \frac{\partial F_{z}}{\partial z} em que F_{z}(x,y,z)=\cos(2z). Usando regra da cadeia novamente,
\frac{\partial}{\partial z}\cos(2z) = -\sin(2z)\cdot 2 = -2\,\sin(2z).

Passo 5

Agora somamos as três derivadas parciais:
\div \vec{F} = 2x \;+\; \bigl(-2y\,\cos(x^{2}-y^{2})\bigr) \;+\; \bigl(-2\,\sin(2z)\bigr) = 2x \;-\; 2y\,\cos(x^{2}-y^{2}) \;-\; 2\,\sin(2z).

Resposta

\div \vec{F}(x,y,z) = 2x \;-\; 2y\,\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) \;-\; 2\,\sin(2z).

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