pelo teste da razão A SÉRie \sum_{q=1}^{\infty} \frac{2^{3 q+1}}{q^{q}}
CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{q=1}^{\infty} \frac{2^{3q+1}}{q^{q}}
pelo teste da razão. Nesse teste, definimos a_{q}=\frac{2^{3q+1}}{q^{q}} e analisamos o limite
L = \lim_{q\to\infty} \frac{a_{q+1}}{a_{q}}.
Se L<1, então a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 2

Escrevendo a_{q} e a_{q+1}, temos
a_{q} = \frac{2^{3q+1}}{q^{q}}, \quad a_{q+1} = \frac{2^{3(q+1)+1}}{(q+1)^{q+1}} = \frac{2^{3q+4}}{(q+1)^{q+1}}.

Passo 3

Formamos a razão
\frac{a_{q+1}}{a_{q}} = \frac{2^{3q+4}}{(q+1)^{q+1}} \;\bigg/\; \frac{2^{3q+1}}{q^{q}} =2^{3}\,\frac{q^{q}}{(q+1)^{q+1}} = \frac{8}{q+1}\,\Bigl(\frac{q}{q+1}\Bigr)^{q}.

Passo 4

Calculamos o limite desse termo quando q\to\infty. Primeiro
\Bigl(\frac{q}{q+1}\Bigr)^{q} =\exp\!\bigl(q\ln(1-\tfrac1{q+1})\bigr) \;\longrightarrow\;\exp(-1)=e^{-1}.
E como \frac{8}{q+1}\to0, segue que
L = \lim_{q\to\infty} \frac{a_{q+1}}{a_{q}} = 0\cdot e^{-1} = 0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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