Determine as dimensões do cone circular reto de maior volume que está inscrito em uma esfera de raio 1 m .
Passo 1
O enunciado pede as dimensões (altura e raio da base) do cone circular reto de maior volume que cabe dentro de uma esfera de raio
. Vamos usar cálculo diferencial para maximizar o volume de um cone em função da posição de seu plano da base dentro da esfera.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o centro da esfera está na origem e a esfera é
Colocamos o vértice do cone no ponto
(topo da esfera) e a base num plano
com
.
- A altura do cone é
- O raio da base é obtido da interseção do plano
com a esfera:
Passo 3
O volume do cone em função de
é
Para maximizar, consideramos
e calculamos
Resolvendo
:
Desprezamos
(volume nulo) e ficamos com
Passo 4
Substituindo
:
Passo 5
Podemos conferir que este ponto dá máximo pelo sinal de
ou analisando o comportamento de
nas extremidades, confirmando que é de fato o maior volume.
Resposta
A altura do cone é
m e o raio da base é
m.