Determine as dimensões do cone circular reto de maior volume que está inscrito em uma esfera de raio 1 m .

Passo 1

O enunciado pede as dimensões (altura e raio da base) do cone circular reto de maior volume que cabe dentro de uma esfera de raio 1. Vamos usar cálculo diferencial para maximizar o volume de um cone em função da posição de seu plano da base dentro da esfera.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o centro da esfera está na origem e a esfera é
x^2+y^2+z^2 = 1.
Colocamos o vértice do cone no ponto (0,0,1) (topo da esfera) e a base num plano z = k com -1 \le k < 1.
  • A altura do cone é
h = 1 - k.
  • O raio da base é obtido da interseção do plano z=k com a esfera:
r = \sqrt{1 - k^2}.

Passo 3

O volume do cone em função de k é
V(k) = \frac{\pi}{3}\,r^2\,h = \frac{\pi}{3}\bigl(1 - k^2\bigr)\,(1 - k).
Para maximizar, consideramos
f(k) = (1 - k^2)(1 - k) = k^3 - k^2 - k + 1,
e calculamos
f'(k) = 3k^2 - 2k - 1.
Resolvendo f'(k)=0:
3k^2 - 2k -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2 \pm \sqrt{4 +12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}.
Desprezamos k=1 (volume nulo) e ficamos com
k = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo k = -\tfrac{1}{3}:
h = 1 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}, \qquad r = \sqrt{1 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Podemos conferir que este ponto dá máximo pelo sinal de f''(k) ou analisando o comportamento de V(k) nas extremidades, confirmando que é de fato o maior volume.

Resposta

A altura do cone é h = \tfrac{4}{3} m e o raio da base é r = \tfrac{2\sqrt{2}}{3} m.

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