Se \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz}+\mathrm{xyz}. Encontre (a) o valor máximo da derivada direcional de f em (8,-1,4) e (b) o vetor unitário da direção para a qual essa derivada direcional máxima ocorre. R: \sqrt{1938} e \frac{-\hat{\mathrm{i}}+44 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}{\sqrt{1938}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos em (8,-1,4) (a) o valor máximo da derivada direcional de
f(x,y,z)=xy + xz + yz + xyz
e (b) o vetor unitário na direção em que essa derivada direcional é máxima.
O conteúdo aqui é derivada direcional em funções de várias variáveis, para isso precisamos calcular o gradiente de f e usar que a derivada direcional em direção a um vetor unitário \mathbf{u} é \nabla f \cdot \mathbf{u}, cuja máxima ocorre quando \mathbf{u} aponta na direção de \nabla f.
Passo 2
Vamos encontrar o gradiente de f. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x} = y + z + yz, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x + z + xz, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = x + y + xy.