Se \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz}+\mathrm{xyz}. Encontre (a) o valor máximo da derivada direcional de f em (8,-1,4) e (b) o vetor unitário da direção para a qual essa derivada direcional máxima ocorre.
R: \sqrt{1938} e \frac{-\hat{\mathrm{i}}+44 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}{\sqrt{1938}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos em (8,-1,4) (a) o valor máximo da derivada direcional de
f(x,y,z)=xy + xz + yz + xyz
e (b) o vetor unitário na direção em que essa derivada direcional é máxima.
O conteúdo aqui é derivada direcional em funções de várias variáveis, para isso precisamos calcular o gradiente de f e usar que a derivada direcional em direção a um vetor unitário \mathbf{u} é \nabla f \cdot \mathbf{u}, cuja máxima ocorre quando \mathbf{u} aponta na direção de \nabla f.

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente de f. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x} = y + z + yz, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x + z + xz, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = x + y + xy.

Passo 3

Agora avaliamos cada uma em (x,y,z)=(8,-1,4):
\frac{\partial f}{\partial x}(8,-1,4) = (-1) + 4 + (-1)\cdot4 = -1,
\frac{\partial f}{\partial y}(8,-1,4) = 8 + 4 + 8\cdot4 = 44,
\frac{\partial f}{\partial z}(8,-1,4) = 8 + (-1) + 8\cdot(-1) = -1.
Portanto
\nabla f(8,-1,4) = \bigl(-1,\,44,\,-1\bigr).

Passo 4

Sabemos que a derivada direcional de f em (8,-1,4) na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f = \nabla f(8,-1,4)\cdot \mathbf{u}.
O valor máximo de D_{\mathbf{u}}f ocorre quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f.

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é então a norma de \nabla f:
\bigl\|\nabla f(8,-1,4)\bigr\| = \sqrt{(-1)^2 + 44^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1936 + 1} = \sqrt{1938}.

Passo 6

O vetor unitário na direção de \nabla f(8,-1,4) é
\mathbf{u}_{\max} = \frac{\nabla f(8,-1,4)}{\bigl\|\nabla f(8,-1,4)\bigr\|} = \frac{-\hat{\imath} + 44\,\hat{\jmath} - \hat{k}}{\sqrt{1938}}.

Resposta

(a) \sqrt{1938}
(b) \displaystyle \frac{-\hat{\imath} + 44\,\hat{\jmath} - \hat{k}}{\sqrt{1938}}

Exercícios relacionados