Calcule o divergente e o rotacional do campo
\vec{F} para
\vec{F}=e^{x y} \vec{i}-\cos (y) \vec{j}+\operatorname{sen}^{2}(z) \vec{k}

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=e^{x y}\,\vec{i}-\cos(y)\,\vec{j}+\sin^{2}(z)\,\vec{k}
e pede:
  1. o divergente \nabla\cdot\vec{F}, que em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes;
  2. o rotacional \nabla\times\vec{F}, que em coordenadas cartesianas se obtém pelo determinante envolvendo \partial_x,\partial_y,\partial_z e as componentes de \vec{F}.

Passo 2

Para o divergente usamos
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\cos(y)\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin^{2}(z)\bigr).
Calculando cada termo: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y\,e^{x y}, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\cos y\bigr)=\sin y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\sin^{2}z=2\sin z\cos z=\sin(2z).
Logo,
\nabla\cdot\vec{F} =y\,e^{x y}+\sin y+\sin(2z).

Passo 3

Para o rotacional usamos
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ e^{x y} & -\cos y & \sin^{2}z \end{vmatrix}.
Os componentes são \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_x =\partial_y(\sin^{2}z)-\partial_z(-\cos y)=0-0=0, \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_y =\partial_z(e^{x y})-\partial_x(\sin^{2}z)=0-0=0, \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_z =\partial_x(-\cos y)-\partial_y(e^{x y}) =0-\bigl(x\,e^{x y}\bigr)=-x\,e^{x y}.
Portanto,
\nabla\times\vec{F} =-\,x\,e^{x y}\,\vec{k}.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\vec{F}=y\,e^{x y}+\sin y+\sin(2z), \displaystyle \nabla\times\vec{F}=-x\,e^{x y}\,\vec{k}.

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