Exercício 1. Calcule o vetor normal unitário ao parabolóide z=x^{2}+y^{2} no ponto ( 1,1,2 ), sabendo que a orientação positiva tem componente \vec{k} positiva.

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário ao parabolóide dado por
z = x^2 + y^2
no ponto (1,1,2), com orientação positiva exigindo componente em \vec{k} positiva. Para isso, vamos tratar a superfície de forma implícita e usar o gradiente para obter a direção normal.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z) = z - x^2 - y^2 = 0.
A teoria nos diz que \nabla F é um vetor normal à superfície em cada ponto.

Passo 3

Calculamos o gradiente:
\nabla F(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) = (-2x,\,-2y,\,1).
No ponto (1,1,2) isso fica
\nabla F(1,1,2)=(-2,\,-2,\,1).
Repare que a componente em \vec{k} é +1, ou seja, já está apontando no sentido positivo de z.

Passo 4

Para tornar esse vetor unitário, achamos sua norma:
\|\nabla F(1,1,2)\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3.

Passo 5

O vetor normal unitário é, então,
\hat{n} = \frac{1}{3}(-2,\,-2,\,1) = \Bigl(-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Resposta

\hat{n} = \bigl(-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr).

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