Mostre que se vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}+c \vec{k}, onde a, b, c são constantes, e vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, então:
\nabla \cdot(\vec{u} \times \vec{r})=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a divergência de \vec{u}\times\vec{r} é zero, onde \vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} (constante) e \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}. O conteúdo usado será cálculo vetorial básico: produto vetorial e definição de divergência.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{r} usando o determinante
\vec{u}\times\vec{r} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ a & b & c\\\ x & y & z \end{vmatrix} =(b\,z-c\,y)\,\vec{i} - (a\,z-c\,x)\,\vec{j} + (a\,y-b\,x)\,\vec{k}.

Passo 3

Pela definição de divergência, temos
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{r}) =\frac{\partial}{\partial x}(b\,z-c\,y) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl[-(a\,z-c\,x)\bigr] +\frac{\partial}{\partial z}(a\,y-b\,x).

Passo 4

Cada termo acima não depende da respectiva variável de diferenciação:
\frac{\partial}{\partial x}(b\,z-c\,y)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}(-(a\,z-c\,x))=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}(a\,y-b\,x)=0.
Somando esses zeros, concluímos que
\nabla\cdot(\vec{u}\times\vec{r})=0.

Resposta

0

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