Exercício 5. Mostre que \nabla \cdot \vec{r}=3, \nabla \times \vec{r}=\overrightarrow{0} e \nabla r=\frac{1}{r} \vec{r}=\hat{r}, sendo \vec{r}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, para o campo vetorial \vec r(x,y,z)=x\vec i+y\vec j+z\vec k, o divergente \nabla\cdot\vec r, o rotacional \nabla\times\vec r e o gradiente da função escalar r=\|\vec r\|. Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
– Divergente de \vec F=(F_x,F_y,F_z):
\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
– Rotacional de \vec F:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
– Gradiente de um escalar f:
\nabla f =\frac{\partial f}{\partial x}\,\vec i +\frac{\partial f}{\partial y}\,\vec j +\frac{\partial f}{\partial z}\,\vec k.

Passo 2

Aplicando a definição de divergente a \vec r=(x,y,z), onde F_x=x, F_y=y, F_z=z:
\nabla\cdot\vec r =\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3.

Passo 3

Para o rotacional de \vec r temos
\nabla\times\vec r =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ x & y & z \end{vmatrix}.
Cada componente envolve derivadas cruzadas como \partial y/\partial z e \partial z/\partial y, todas nulas. Logo
\nabla\times\vec r=\vec 0.

Passo 4

Definindo o escalar
r=\|\vec r\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},
o gradiente é
\nabla r =\frac{\partial r}{\partial x}\,\vec i +\frac{\partial r}{\partial y}\,\vec j +\frac{\partial r}{\partial z}\,\vec k.
Como \partial r/\partial x=x/r, \partial r/\partial y=y/r, \partial r/\partial z=z/r,
temos
\nabla r =\frac{x}{r}\,\vec i +\frac{y}{r}\,\vec j +\frac{z}{r}\,\vec k =\frac{1}{r}(x\vec i+y\vec j+z\vec k) =\frac{1}{r}\,\vec r =\hat r.

Resposta

\nabla\cdot\vec r=3 \nabla\times\vec r=\vec 0 \nabla r=\frac{1}{r}\,\vec r=\hat r

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