Exercício 5. Mostre que \nabla \cdot \vec{r}=3, \nabla \times \vec{r}=\overrightarrow{0} e \nabla r=\frac{1}{r} \vec{r}=\hat{r}, sendo \vec{r}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, para o campo vetorial \vec r(x,y,z)=x\vec i+y\vec j+z\vec k, o divergente \nabla\cdot\vec r, o rotacional \nabla\times\vec r e o gradiente da função escalar r=\|\vec r\|. Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
– Divergente de \vec F=(F_x,F_y,F_z):
\nabla\times\vec r =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ x & y & z \end{vmatrix}.
Cada componente envolve derivadas cruzadas como \partial y/\partial z e \partial z/\partial y, todas nulas. Logo
\nabla\times\vec r=\vec 0.
Passo 4
Definindo o escalar
r=\|\vec r\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},
o gradiente é
\nabla r =\frac{\partial r}{\partial x}\,\vec i +\frac{\partial r}{\partial y}\,\vec j +\frac{\partial r}{\partial z}\,\vec k.