Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
v=x y i+2 y z j+3 z x k.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o divergente da função vetorial v = xy,i + 2yz,j + 3zx,k. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de divergente. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais das componentes da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do divergente para uma função vetorial v = vx,i + vy,j + vz,k:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Essa fórmula nos diz para somar as derivadas parciais de cada componente em relação à sua própria variável.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
  • vx = xy
  • vy = 2yz
  • vz = 3zx

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de vx em relação a x:
    partial vxpartial x = partialpartial x(xy) = y
    Aqui, tratamos y como uma constante ao derivar em relação a x.
  2. Derivada de vy em relação a y:
    partial vypartial y = partialpartial y(2yz) = 2z
    Aqui, z é tratado como constante em relação a y.
  3. Derivada de vz em relação a z:
    partial vzpartial z = partialpartial z(3zx) = 3x
    Aqui, x é tratado como constante em relação a z.

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
nabla cdot v = y + 2z + 3x

Resposta

O divergente da função vetorial dada é:
nabla cdot v = 3x + y + 2z

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