Determine o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio R ao redor de uma carga pontual +Q localizada no centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio $ R $ que envolve uma carga pontual $ +Q $ no centro. Vamos trabalhar com eletrostática, mais especificamente com a Lei de Gauss, que é super útil para esse tipo de problema. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico e como aplicar a Lei de Gauss em situações de simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre fluxo elétrico. O fluxo elétrico ($ \Phi_E $) é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através de uma determinada superfície. Imagine que ele nos diz o quanto do campo elétrico está “passando” por essa superfície.
A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total ($ Q_{int} $) dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
Onde:
- $ \Phi_E $ é o fluxo elétrico.
- $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
- $ d\mathbf{A} $ é um elemento infinitesimal da superfície $ S $.
- $ Q_{int} $ é a carga total dentro da superfície.
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, um valor constante.
Passo 3
No nosso caso, temos uma superfície esférica de raio $ R $ com uma carga pontual $ +Q $ exatamente no centro dessa esfera. Como a distribuição de carga é simétrica e a carga está no centro, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ será radial e terá a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica.
Isso significa que o produto escalar $ \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} $ se simplifica, pois o campo elétrico é perpendicular à superfície em todos os pontos. Portanto, o fluxo elétrico pode ser calculado facilmente usando a Lei de Gauss.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, sabemos que:
Aqui, $ Q_{int} $ é simplesmente a carga $ +Q $ que está dentro da superfície esférica. Substituindo na fórmula, temos:
Isso nos dá o fluxo elétrico através da superfície esférica.
Resposta
O fluxo elétrico através da superfície esférica é $ \Phi_E = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} $.