Considere uma partícula de massa m compelida a mover-se sobre um cilindro de raio R, sem atrito, dado pela equação rho=R em coordenadas cilíndricas polares (rho, phi, z). A massa está sujeita a apenas uma força externa, F=-k r r, onde k é uma constante positiva, r é a sua distância a partir da origem e r é o vetor unitário apontando na direção para fora da origem, como de costume. Usando z e phi como coordenadas generalizadas, determine a Hamiltoniana. Obtenha e resolva as equações de Hamilton, e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o movimento de uma partícula de massa m que está se movendo sobre um cilindro de raio R, sem atrito. Ela está sujeita a uma força externa F = -k r r, onde k é uma constante positiva, r é a distância a partir da origem, e r é o vetor unitário apontando para fora da origem. A gente vai usar coordenadas generalizadas z e phi para determinar a Hamiltoniana, obter e resolver as equações de Hamilton, e descrever o movimento da partícula. Para isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente a formulação de Hamilton, que é uma maneira poderosa de descrever sistemas físicos.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as coordenadas generalizadas. Como a partícula está se movendo sobre um cilindro de raio fixo R, a coordenada radial rho é sempre igual a R, ou seja, rho = R. As coordenadas que realmente descrevem o movimento são o ângulo phi e a altura z ao longo do cilindro.
Agora, vamos pensar na energia cinética da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética T é dada por:
T = 12 m ( dotrho^2 + rho^2 dotphi^2 + dotz^2 )
Mas como rho = R é constante, dotrho = 0. Então, a energia cinética simplifica para:
T = 12 m ( R^2 dotphi^2 + dotz^2 )

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia potencial V. A força externa é F = -k r r, que é uma força que aponta para o centro com magnitude proporcional à distância r da origem. A energia potencial associada a essa força pode ser encontrada integrando a força em relação à distância. Como F = -nabla V, temos:
V(r) = 12 k r^2
No nosso caso, a distância r da partícula até a origem pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como:
r = raizR^2 + z^2
Portanto, a energia potencial fica:
V = 12 k (R^2 + z^2)

Passo 4

Agora, vamos montar o Lagrangiano L, que é dado pela diferença entre a energia cinética T e a energia potencial V:
L = T - V = 12 m ( R^2 dotphi^2 + dotz^2 ) - 12 k (R^2 + z^2)

Passo 5

Para passar da formulação de Lagrange para a de Hamilton, precisamos calcular os momentos generalizados conjugados às coordenadas z e phi. Os momentos conjugados são dados pelas derivadas parciais do Lagrangiano em relação às velocidades generalizadas.
Para phi:
pphi = partial Lpartial dotphi = m R^2 dotphi
Para z:
pz = partial Lpartial dotz = m dotz

Passo 6

Agora, vamos construir a Hamiltoniana H, que é definida como:
H = pphi dotphi + pz dotz - L
Vamos substituir dotphi e dotz em termos dos momentos conjugados:
dotphi = pphim R^2, dotz = pzm
Substituindo na expressão de H:
H = pphi ( pphim R^2 ) + pz ( pzm ) - [ 12 m ( R^2 ( pphim R^2 )^2 + ( pzm )^2 ) - 12 k (R^2 + z^2) ]
Simplificando:
H = pphi^2m R^2 + pz^2m - ( 12 ( pphi^2m R^2 + pz^2m ) - 12 k (R^2 + z^2) )
H = pphi^22 m R^2 + pz^22 m + 12 k (R^2 + z^2)

Passo 7

Com a Hamiltoniana em mãos, podemos escrever as equações de Hamilton. Essas equações são:
dotqi = partial Hpartial pi, dotpi = -partial Hpartial qi
No nosso caso, as coordenadas generalizadas são q1 = phi e q2 = z, com momentos conjugados pphi e pz. Vamos aplicar as equações:
Para phi:
dotphi = partial Hpartial pphi = pphim R^2
dotpphi = -partial Hpartial phi = 0
Isso significa que pphi é uma constante, ou seja, o momento angular é conservado.
Para z:
dotz = partial Hpartial pz = pzm
dotpz = -partial Hpartial z = -k z

Passo 8

Agora, vamos resolver essas equações diferenciais.
Primeiro, dado que dotpphi = 0, então pphi é constante. Vamos chamar essa constante de L, que representa o momento angular.
Para z, temos:
dotpz = -k z
Mas pz = m dotz, então:
m ddotz = -k z
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, cuja solução geral é:
z(t) = A cos( raizkm t + theta )
onde A e theta são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Para phi, sabemos que:
dotphi = pphim R^2 = Lm R^2
Como L é constante, isso implica que phi(t) aumenta linearmente com o tempo:
phi(t) = phi0 + Lm R^2 t
onde phi0 é a posição angular inicial.

Passo 9

Finalmente, vamos descrever o movimento da partícula. A solução para z(t) mostra que a partícula realiza oscilações harmônicas ao longo do eixo z do cilindro, com frequência angular omega = raizkm. Isso significa que a partícula se move para cima e para baixo no cilindro de maneira periódica.
Já a solução para phi(t) indica que a partícula também está se movendo ao redor do cilindro com uma velocidade angular constante Lm R^2. Como L é constante, essa velocidade angular não muda com o tempo.
Portanto, o movimento da partícula é uma combinação de rotação uniforme ao redor do cilindro e oscilações harmônicas verticais ao longo do eixo z.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
H = pphi^22 m R^2 + pz^22 m + 12 k (R^2 + z^2)
As equações de Hamilton são:
dotphi = pphim R^2, dotpphi = 0
dotz = pzm, dotpz = -k z
As soluções dessas equações mostram que a partícula realiza:
  • Rotação uniforme ao redor do cilindro com velocidade angular constante Lm R^2.
  • Oscilações harmônicas verticais ao longo do eixo z com frequência omega = raizkm.
Assim, o movimento combinado da partícula é uma rotação constante acompanhada de oscilações verticais periódicas.

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