Considere uma partícula de massa
compelida a mover-se sobre um cilindro de raio
, sem atrito, dado pela equação
em coordenadas cilíndricas polares
. A massa está sujeita a apenas uma força externa,
, onde
é uma constante positiva,
é a sua distância a partir da origem e r é o vetor unitário apontando na direção para fora da origem, como de costume. Usando
e
como coordenadas generalizadas, determine a Hamiltoniana. Obtenha e resolva as equações de Hamilton, e descreva o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o movimento de uma partícula de massa
que está se movendo sobre um cilindro de raio
, sem atrito. Ela está sujeita a uma força externa
, onde
é uma constante positiva,
é a distância a partir da origem, e
é o vetor unitário apontando para fora da origem. A gente vai usar coordenadas generalizadas
e
para determinar a Hamiltoniana, obter e resolver as equações de Hamilton, e descrever o movimento da partícula. Para isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente a formulação de Hamilton, que é uma maneira poderosa de descrever sistemas físicos.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as coordenadas generalizadas. Como a partícula está se movendo sobre um cilindro de raio fixo
, a coordenada radial
é sempre igual a
, ou seja,
. As coordenadas que realmente descrevem o movimento são o ângulo
e a altura
ao longo do cilindro.
Agora, vamos pensar na energia cinética da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética
é dada por:
Mas como
é constante,
. Então, a energia cinética simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia potencial
. A força externa é
, que é uma força que aponta para o centro com magnitude proporcional à distância
da origem. A energia potencial associada a essa força pode ser encontrada integrando a força em relação à distância. Como
, temos:
No nosso caso, a distância
da partícula até a origem pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como:
Portanto, a energia potencial fica:
Passo 4
Agora, vamos montar o Lagrangiano
, que é dado pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Passo 5
Para passar da formulação de Lagrange para a de Hamilton, precisamos calcular os momentos generalizados conjugados às coordenadas
e
. Os momentos conjugados são dados pelas derivadas parciais do Lagrangiano em relação às velocidades generalizadas.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos construir a Hamiltoniana
, que é definida como:
Vamos substituir
e
em termos dos momentos conjugados:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Com a Hamiltoniana em mãos, podemos escrever as equações de Hamilton. Essas equações são:
No nosso caso, as coordenadas generalizadas são
e
, com momentos conjugados
e
. Vamos aplicar as equações:
Para
:
Isso significa que
é uma constante, ou seja, o momento angular é conservado.
Para
:
Passo 8
Agora, vamos resolver essas equações diferenciais.
Primeiro, dado que
, então
é constante. Vamos chamar essa constante de
, que representa o momento angular.
Para
, temos:
Mas
, então:
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, cuja solução geral é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Para
, sabemos que:
Como
é constante, isso implica que
aumenta linearmente com o tempo:
onde
é a posição angular inicial.
Passo 9
Finalmente, vamos descrever o movimento da partícula. A solução para
mostra que a partícula realiza oscilações harmônicas ao longo do eixo
do cilindro, com frequência angular
. Isso significa que a partícula se move para cima e para baixo no cilindro de maneira periódica.
Já a solução para
indica que a partícula também está se movendo ao redor do cilindro com uma velocidade angular constante
. Como
é constante, essa velocidade angular não muda com o tempo.
Portanto, o movimento da partícula é uma combinação de rotação uniforme ao redor do cilindro e oscilações harmônicas verticais ao longo do eixo
.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é:
As equações de Hamilton são:
As soluções dessas equações mostram que a partícula realiza:
- Rotação uniforme ao redor do cilindro com velocidade angular constante
. - Oscilações harmônicas verticais ao longo do eixo
com frequência .
Assim, o movimento combinado da partícula é uma rotação constante acompanhada de oscilações verticais periódicas.