Calcule os divergentes dos campos:
(10.2) Gravitacional G gerado por uma partícula de massa M situada na origem de R^3, sendo G(x, y, z)=-tildeG M|X|^3 X, com X=(x, y, z) e tildeG a constante universal de gravitação

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergente do campo gravitacional
G(x,y,z)=-tilde G,M|vec X|^3,vec X, vec X=(x,y,z),
no espaço R^3. O conteúdo é cálculo de divergente de campo vetorial, usando
nabla!cdot!G=partial G1partial x+partial G2partial y+partial G3partial z

Passo 2

Escrevemos as componentes de G. Se r=|vec X|=(x^2+y^2+z^2)^1/2, então
Gi=-tilde G,M,xir^3,(x1,x2,x3)=(x,y,z)
Logo
nabla!cdot!G =-tilde G,Ml(partialpartial xxr^3 +partialpartial yyr^3 +partialpartial zzr^3r)

Passo 3

Calculamos uma derivada genérica. Para rneq0,
partialpartial xl(xr^3r) =1r^3 -3,x^2r^5
Pelos mesmos raciocínios,
partialpartial yl(yr^3r) =1r^3 -3,y^2r^5, partialpartial zl(zr^3r) =1r^3 -3,z^2r^5

Passo 4

Somando essas três expressões obtemos
partialpartial xxr^3 +partialpartial yyr^3 +partialpartial zzr^3 =3,1r^3-3,x^2+y^2+z^2r^5 =3,r^-3-3,r^2,r^-5=0
Logo, para todo (x,y,z)neq(0,0,0),
nabla!cdot!G= -tilde G,Mcdot0=0

Passo 5

O campo não está definido em vec X=0 e ali há uma singularidade. Em cálculo vetorial avançado, verifica-se que, no sentido de distribuições,
nabla!cdot!l(vec Xr^3r)=4pi,de<a0(vec X),
onde de<a0 é a delta de Dirac na origem. Portanto,
nabla!cdot!G=-tilde G,M,4pi,de<a0(vec X)

Resposta

Para vec Xneq0:
nabla!cdot!G(x,y,z)=0
No sentido de distribuições em R^3:
nabla!cdot!G=-4pi,tilde G,M,de<a0(vec X)

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