Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parte do parabolóide elíptico x=5 y^2+2 z^2-10 que está em frente ao plano yz.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação paramétrica para uma parte de um parabolóide elíptico dado por x = 5 y^2 + 2 z^2 - 10 que está em frente ao plano yz . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Precisamos entender como expressar x , y e z em termos de alguns parâmetros que descrevem essa parte específica da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "em frente ao plano yz ". O plano yz é onde x = 0 . Então, “em frente” provavelmente indica que queremos a parte do parabolóide onde x é maior ou igual a zero. Vamos então estabelecer essa condição:
x = 5 y^2 + 2 z^2 - 10 >= 0

Passo 3

Vamos resolver a inequação para encontrar a região do parabolóide que está em frente ao plano yz :
5 y^2 + 2 z^2 - 10 >= 0
5 y^2 + 2 z^2 >= 10
Para simplificar, dividimos todos os termos por 10:
y^22 + z^25 >= 1
Essa inequação representa uma elipse no plano yz . Portanto, os valores de y e z que satisfazem essa condição definirão a região da superfície que estamos interessados em parametrizar.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a superfície. Uma maneira comum de fazer isso é escolher y e z como parâmetros, já que x é definido em termos deles a partir da equação do parabolóide. Então, podemos definir:
y = u
z = v
x = 5 u^2 + 2 v^2 - 10
Mas precisamos garantir que a condição 5 u^2 + 2 v^2 >= 10 seja satisfeita para que a parte da superfície esteja realmente em frente ao plano yz .

Passo 5

Então, nossa representação paramétrica será:
x = 5 u^2 + 2 v^2 - 10 y = u z = v
Onde u e v são parâmetros reais que devem satisfazer 5 u^2 + 2 v^2 >= 10 para garantir que estamos na parte correta do parabolóide.

Resposta

A representação paramétrica da parte do parabolóide elíptico [x = 5 y^{2} + 2 z^{2} - 10) em frente ao plano é:
Onde são parâmetros reais que satisfazem .

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