Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parte do parabolóide elíptico que está em frente ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação paramétrica para uma parte de um parabolóide elíptico dado por que está em frente ao plano . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Precisamos entender como expressar , e em termos de alguns parâmetros que descrevem essa parte específica da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "em frente ao plano ". O plano é onde . Então, “em frente” provavelmente indica que queremos a parte do parabolóide onde é maior ou igual a zero. Vamos então estabelecer essa condição:
Passo 3
Vamos resolver a inequação para encontrar a região do parabolóide que está em frente ao plano :
Para simplificar, dividimos todos os termos por 10:
Essa inequação representa uma elipse no plano . Portanto, os valores de e que satisfazem essa condição definirão a região da superfície que estamos interessados em parametrizar.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a superfície. Uma maneira comum de fazer isso é escolher e como parâmetros, já que é definido em termos deles a partir da equação do parabolóide. Então, podemos definir:
Mas precisamos garantir que a condição seja satisfeita para que a parte da superfície esteja realmente em frente ao plano .
Passo 5
Então, nossa representação paramétrica será:
Onde u e v são parâmetros reais que devem satisfazer 5 u^2 + 2 v^2 >= 10 para garantir que estamos na parte correta do parabolóide.
Resposta
A representação paramétrica da parte do parabolóide elíptico [x = 5 y^{2} + 2 z^{2} - 10) em frente ao plano é: