Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se R for o retângulo (x, y): 1 <= x <= 5,2 <= y <= 4, então
integralegral duplaR f(x, y) d A=integral1^5 integral2^4 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a região
R = (x,y)mid 1 <= x <= 5,;2 <= y <= 4
e pede para comparar a integral dupla
integral duplaR f(x,y),dA
com a iterada
integral1^5integral2^4 f(x,y),dx,dy
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para integrais duplas em retângulos, que nos permite trocar ordem de integração desde que os limites estejam corretos.

Passo 2

O Teorema de Fubini diz que, se f é integrável em
,[a,b]times[c,d], então
integral dupla[a,b]times[c,d] f(x,y),dA =integrala^bintegralc^d f(x,y),dy,dx =integralc^dintegrala^b f(x,y),dx,dy
Repare que, em cada integral interna, os limites devem corresponder precisamente à variável de diferenciação usada.

Passo 3

Na expressão
integral1^5integral2^4 f(x,y),dx,dy
a integral interna é em ,dx mas usa limites 2 e 4, que na verdade são os limites em y. Isso significa que ela computa
2<= x<=4,;1<= y<=5,
isto é, um retângulo diferente de R.

Passo 4

Como os limites internos não coincidem com a variável x, a igualdade proposta não descreve a integral sobre R. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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