Verifique a propriedade \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| para os números z_{1}=3-4 i e z_{2}=1+i \sqrt{3}. Realize os cálculos para os dois lados da igualdade e mostre que são idênticos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| para os números complexos dados. As informações fornecidas são:
  • z_{1}=3-4i.
  • z_{2}=1+i\sqrt{3}.
    A tarefa é calcular explicitamente os dois lados da igualdade e mostrar que são idênticos.

Passo 2

Relembrando a definição de módulo: para um número complexo z = x + iy o módulo é
|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
No caso de z_{1}=3-4i temos x=3 e y=-4. Portanto vou calcular |z_{1}|.

Passo 3

Calcular |z_{1}|:
|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Calcular |z_{2}|. Para z_{2}=1+i\sqrt{3} temos x=1 e y=\sqrt{3}. Então
|z_{2}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Multiplicando os módulos individuais:
|z_{1}|\cdot|z_{2}|=5\cdot2=10.

Passo 5

Agora calculo o produto z_{1}\cdot z_{2} explicitamente, usando (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc). Faço a multiplicação direta:
z_{1}\cdot z_{2}=(3-4i)(1+i\sqrt{3}).
Expandindo:
(3-4i)(1+i\sqrt{3})=3\cdot1 + 3\cdot i\sqrt{3} -4i\cdot1 -4i\cdot i\sqrt{3}.
Como i^{2}=-1, o último termo fica -4i^{2}\sqrt{3}= -4(-1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}. Reagrupando as partes real e imaginária:
z_{1}\cdot z_{2}=(3+4\sqrt{3}) + i(3\sqrt{3}-4).

Passo 6

Calcular o módulo do produto |z_{1}\cdot z_{2}|. Usando a definição:
|z_{1}\cdot z_{2}|=\sqrt{(3+4\sqrt{3})^{2} + (3\sqrt{3}-4)^{2}}.
Faço as duas quadraturas separadas:
(3+4\sqrt{3})^{2}=3^{2}+2\cdot3\cdot4\sqrt{3}+(4\sqrt{3})^{2}=9+24\sqrt{3}+16\cdot3=9+24\sqrt{3}+48=57+24\sqrt{3},
(3\sqrt{3}-4)^{2}=(3\sqrt{3})^{2}-2\cdot3\sqrt{3}\cdot4+4^{2}=27-24\sqrt{3}+16=43-24\sqrt{3}.
Somando as duas expressões:
(3+4\sqrt{3})^{2} + (3\sqrt{3}-4)^{2}=(57+24\sqrt{3})+(43-24\sqrt{3})=100.
Portanto
|z_{1}\cdot z_{2}|=\sqrt{100}=10.

Passo 7

Comparando os resultados: do lado direito tínhamos |z_{1}|\cdot|z_{2}|=10 (Passo 4) e do lado esquerdo obtivemos |z_{1}\cdot z_{2}|=10 (Passo 6). Assim, a igualdade foi verificada numericamente para os valores dados.

Resposta

|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot|z_{2}|=10

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