Calcule os dois últimos algorismos do número 7^7^1000

Passo 1

O problema pede os dois últimos algarismos de
7^7^1000bmod 100
Para resolver, vamos usar que, em Z/100Z, a potência de um número coprimo a 100 se reduz ao expoente módulo a ordem desse número no grupo multiplicativo. Então precisamos:
  1. Determinar a ordem de 7 módulo 100.
  2. Reduzir 7^1000 módulo dessa ordem.
  3. Calcular a potência resultante módulo 100.

Passo 2

Buscamos o menor k>0 tal que
7^k equiv 1 pmod100
Teste das potências de 7:
7^1 equiv 7 notequiv 1pmod100,
7^2 = 49 notequiv 1pmod100,
7^3 = 49cdot7 = 343 equiv 43 notequiv 1pmod100,
7^4 = 43cdot7 = 301 equiv 1pmod100
Portanto, a ordem de 7 em (Z/100Z)^* é
ord100(7) = 4

Passo 3

Agora reduzimos o expoente 7^1000 módulo 4. Como
7 equiv 3 pmod4,
temos
7^1000equiv 3^1000pmod4
Mas
3^2 equiv 9 equiv 1pmod4,
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3^1000 = (3^2)^500 equiv 1^500 = 1pmod4
Conclusão:
7^1000equiv 1pmod4

Passo 4

Sabendo que ord100(7)=4 e que o expoente 7^1000equiv1pmod4, obtemos
7^7^1000 equiv 7^1 equiv 7 pmod100
Portanto, os dois últimos algarismos de 7^7^1000 são

Resposta

07

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