Encontre o resto da divisão de:
5^14 por 7

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^14 por 7. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e, em particular, o Pequeno Teorema de Fermat, que nos ajuda a simplificar potências grandes quando o módulo é primo.

Passo 2

O Pequeno Teorema de Fermat afirma que, se p é primo e pnmid a, então
a^p-1equiv 1pmodp
Como 7 é primo e 7nmid 5, temos
5^6equiv 1pmod7

Passo 3

Escrevemos o expoente 14 em função de 6:
14 = 6cdot 2 + 2
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5^14 = 5^6cdot2 + 2 = l(5^6r)^2cdot 5^2

Passo 4

Usando a congruência de 5^6 em módulo 7, temos
5^14equiv 1^2cdot 5^2equiv 5^2pmod7,
ou seja,
5^14equiv 25pmod7

Passo 5

Finalmente, basta reduzir 25 módulo 7:
25 = 7cdot 3 + 4,
então
25equiv 4pmod7

Resposta

O resto da divisão de 5^14 por 7 é 4.

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