Encontre o resto da divisão de:
5^100 por 11

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^100 por 11. O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular vamos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que nos ajuda a simplificar potências em módulo de primo.

Passo 2

O Pequeno Teorema de Fermat afirma que, para todo inteiro a não divisível por um primo p,
a^p-1 equiv 1 pmod p
No nosso caso, p=11 e a=5. Como gcd(5,11)=1, temos
5^10 equiv 1 pmod11

Passo 3

Agora escrevemos a potência 5^100 em função de 5^10:
5^100 = l(5^10r)^10
Aplicando a congruência do passo anterior:
5^100 equiv 1^10 equiv 1 pmod11

Resposta

O resto da divisão de 5^100 por 11 é 1.

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