Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z).
Determine a matriz de T em relação às bases B=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e C= base da imagem de T encontrada no item (b), [T]C^B.

Passo 1

O enunciado pede a matriz [T]C^B de
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x+y-z,;3x-2y+4z)
em que a base do domínio é
B=,b1=(1,1,1),;b2=(1,1,0),;b3=(1,0,0)
e a base do contradomínio C é a base da imagem de T (achada no item (b)). Vamos:
1. calcular T(bi),
2. extrair de T(b1),T(b2),T(b3) uma base C,
3. escrever cada T(bi) em coordenadas na base C,
4. montar a matriz.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores de B:
T(b1)=T(1,1,1)=(2cdot1+1-1,;3cdot1-2cdot1+4cdot1)=(2,5),
T(b2)=T(1,1,0)=(2+1-0,;3-2+0)=(3,1),
T(b3)=T(1,0,0)=(2,3)

Passo 3

Como (2,5) e (3,1) são LID em R^2 (determinante -13neq0), podemos tomar
C = ,c1=(2,5),;c2=(3,1)
como base da imagem de T.

Passo 4

Agora escrevemos cada
Isso dá o sistema
Logo (\bigl[,T(b_3)\bigr]_{C}=\bigl(\tfrac{7}{13},,\tfrac{4}{13}\bigr)].

Passo 5

A matriz de T em relação a B e C tem colunas formadas por essas coordenadas:
[T]C^B = 1 & 0 & tfrac713[6pt] 0 & 1 & tfrac413 ]

Resposta

[T]C^B = 1 & 0 & tfrac713[6pt] 0 & 1 & tfrac413 ]

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