Calcule o domínio das funções:
f(x)=raiz[4]x^3-4 xx^2+x-6

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=raiz[4]x^3-4xx^2+x-6
que é uma raiz de índice par. Logo, para existir em R precisamos que o radicando seja não-negativo, isto é
x^3-4xx^2+x-6>= 0
e ainda o denominador não pode ser zero:
x^2+x-6neq 0

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para identificar zeros e pontos proibidos:
x^3-4x = x(x^2-4)=x(x-2)(x+2),
x^2+x-6 = (x-2)(x+3)
Assim os pontos críticos são
zeros do numerador: x= -2,0,2,
zeros do denominador: x=2,-3.
Mas x=2 anula também o numerador, gerando uma forma 0/0, portanto deve ser excluído junto com x=-3.

Passo 3

Simplificamos a expressão para estudo de sinal (lembrando que x=2 e x=-3 continuam proibidos):
x(x-2)(x+2)(x-2)(x+3) =x(x+2)x+3
Agora basta analisar o sinal de
g(x)=x(x+2)x+3
nos intervalos determinados por -3,-2,0,2.

Passo 4

Construindo mentalmente a tabela de sinais de g(x):
  • Em (-infty,-3): escolhemos x=-4, dá g(-4)<0.
  • Em (-3,-2): com x=-2,5, dá g(-2,5)>0.
  • Em (-2,0): com x=-1, dá g(-1)<0.
  • Em (0,2): com x=1, dá g(1)>0.
  • Em (2,infty): com x=3, dá g(3)>0.
    Além disso, nos pontos onde o radicando fica exatamente zero (zeros do numerador sem anular o denominador), ou seja x=-2 e x=0, podemos incluir esses pontos no domínio.

Passo 5

Reunindo as partes em que x^3-4xx^2+x-6>=0 e excluindo x=-3 e x=2, temos
Dom(f)=(-3,-2];cup;[0,2);cup;(2,infty)

Resposta

(-3,-2]cup[0,2)cup(2,infty)

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