Calcule o domínio das funções e calcule
para os valores dados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função
. - Calcular o valor de
para os valores dados e .
Informações dadas:
- A função é uma razão entre dois polinômios em
e : numerador e denominador . - Valores a avaliar:
e .
Passo 2
Entender o que determina o domínio. O domínio de uma função racional (quociente de polinômios) é o conjunto de pares
para os quais o denominador é diferente de zero, porque não se pode dividir por zero. Portanto devemos achar todas as restrições impostas pelo denominador.
O denominador é
. A condição de proibido é
Passo 3
Resolver a condição onde o denominador é zero para descrevê-la explicitamente. Da igualdade
temos
Isso é uma reta no plano
. Assim o denominador é zero exatamente quando
.
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares
exceto os que satisfazem
.
Passo 4
Expressar o domínio de forma matemática limpa. Usando a condição encontrada:
Comentário didático: isso significa que para qualquer par
com
diferente de
a função está bem definida; apenas os pontos sobre a reta
são excluídos.
Passo 5
Antes de calcular
, é útil simplificar a expressão quando possível, mostrando um truque algébrico que costuma aparecer em provas: fatoração por diferença de quadrados.
Observe que o numerador é
A identidade algébrica “diferença de quadrados” diz que, para quaisquer
e
,
Aplicando com
e
,
Passo 6
Substituindo a fatoração no quociente temos, para todos os
com
,
Como
no domínio, é permitido cancelar o fator comum
, obtendo a forma simplificada
Explicação didática: o cancelamento só é válido quando o fator cancelado não é zero; por isso reforçamos que o domínio exclui
.
Passo 7
Agora avaliamos a função no ponto dado. Primeiro verificar se o ponto está no domínio: para
e
temos
portanto
pertence ao domínio e podemos calcular
.
Usando a forma simplificada
, substituímos:
Como verificação alternativa (sem simplificar primeiro), calcular diretamente no quociente original:
o que confirma o resultado.