Calcule o domínio das funções e calcule f(x, y) para os valores dados.
f(x, y)=\frac{4 x^{2}-y^{2}}{2 x-y} ; x=4, y=-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função f(x,y)=\dfrac{4x^{2}-y^{2}}{2x-y}.
  • Calcular o valor de f(x,y) para os valores dados x=4 e y=-1.
Informações dadas:
  • A função é uma razão entre dois polinômios em x e y: numerador 4x^{2}-y^{2} e denominador 2x-y.
  • Valores a avaliar: x=4 e y=-1.

Passo 2

Entender o que determina o domínio. O domínio de uma função racional (quociente de polinômios) é o conjunto de pares (x,y) para os quais o denominador é diferente de zero, porque não se pode dividir por zero. Portanto devemos achar todas as restrições impostas pelo denominador.
O denominador é 2x-y. A condição de proibido é
2x-y=0.

Passo 3

Resolver a condição onde o denominador é zero para descrevê-la explicitamente. Da igualdade 2x-y=0 temos
y=2x.
Isso é uma reta no plano (x,y). Assim o denominador é zero exatamente quando y=2x.
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 exceto os que satisfazem y=2x.

Passo 4

Expressar o domínio de forma matemática limpa. Usando a condição encontrada:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 2x\}.
Comentário didático: isso significa que para qualquer par (x,y) com y diferente de 2x a função está bem definida; apenas os pontos sobre a reta y=2x são excluídos.

Passo 5

Antes de calcular f(4,-1), é útil simplificar a expressão quando possível, mostrando um truque algébrico que costuma aparecer em provas: fatoração por diferença de quadrados.
Observe que o numerador é
4x^{2}-y^{2}=(2x)^{2}-y^{2}.
A identidade algébrica “diferença de quadrados” diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=2x e b=y,
4x^{2}-y^{2}=(2x-y)(2x+y).

Passo 6

Substituindo a fatoração no quociente temos, para todos os (x,y) com 2x-y\neq 0,
f(x,y)=\frac{4x^{2}-y^{2}}{2x-y}=\frac{(2x-y)(2x+y)}{2x-y}.
Como 2x-y\neq 0 no domínio, é permitido cancelar o fator comum 2x-y, obtendo a forma simplificada
f(x,y)=2x+y\qquad\text{(para \(y\neq 2x\)).}
Explicação didática: o cancelamento só é válido quando o fator cancelado não é zero; por isso reforçamos que o domínio exclui y=2x.

Passo 7

Agora avaliamos a função no ponto dado. Primeiro verificar se o ponto está no domínio: para x=4 e y=-1 temos
2x-y=2\cdot 4 - (-1)=8+1=9\neq 0,
portanto (4,-1) pertence ao domínio e podemos calcular f(4,-1).
Usando a forma simplificada f(x,y)=2x+y, substituímos:
f(4,-1)=2\cdot 4 + (-1)=8-1=7.
Como verificação alternativa (sem simplificar primeiro), calcular diretamente no quociente original:
\text{numerador}=4x^{2}-y^{2}=4\cdot 4^{2}-(-1)^{2}=4\cdot 16 - 1=64-1=63,
\text{denominador}=2x-y=9,
\frac{63}{9}=7,
o que confirma o resultado.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 2x\}
f(4,-1)=7

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