Calcule o limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-2)}\left[5 x^{2}+3 x y\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-2)}\left[5x^{2}+3xy\right].
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é 5x^{2}+3xy.
  • O ponto de aproximação é (1,-2).
    O que se pede: determinar o valor numérico do limite quando (x,y) se aproxima de (1,-2).

Passo 2

Princípio que vamos usar (propriedades básicas de limites):
  • Se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) existem, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(f+g\big)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}f+\lim_{(x,y)\to(a,b)}g.
  • Para constante c,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} c\,f(x,y) = c\cdot\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y).
  • Se os limites de f e g existem, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(fg\big)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}f\cdot\lim_{(x,y)\to(a,b)}g.
Essas propriedades permitem separar a expressão em pedaços mais simples.

Passo 3

Justificativa de validade: as funções elementares envolvidas aqui são contínuas (isto é, não apresentam “saltos”):
  • A função projeção (x,y)\mapsto x é contínua em todo lugar, logo \lim_{(x,y)\to(1,-2)} x = 1.
  • A função projeção (x,y)\mapsto y é contínua em todo lugar, logo \lim_{(x,y)\to(1,-2)} y = -2.
  • Composição, produto e soma de funções contínuas são contínuas, portanto (x,y)\mapsto x^{2} e (x,y)\mapsto xy são contínuas e seus limites são os valores avaliados no ponto.

Passo 4

Calcular o limite do primeiro termo usando continuidade e propriedade de constantes:
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} 5x^{2} = 5\cdot \lim_{(x,y)\to(1,-2)} x^{2} = 5\cdot 1^{2} = 5.

Passo 5

Calcular o limite do segundo termo usando produto de limites:
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} 3xy = 3\cdot \lim_{(x,y)\to(1,-2)} x\cdot \lim_{(x,y)\to(1,-2)} y = 3\cdot 1\cdot (-2) = -6.

Passo 6

Aplicando a propriedade da soma de limites, o limite pedido é a soma dos resultados dos passos anteriores (os valores \,5 e -6 calculados).

Resposta

-1

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