Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando o ponto
se aproxima de
:
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função que aparece é
. - O ponto de aproximação é
. - É necessário lembrar que a função logarítmica natural
só está definida para argumentos positivos, então o argumento precisa ser . - Note que
é a constante de Euler, com o valor , e portanto .
Passo 2
Primeiro calculemos o limite do argumento de
, isto é, o limite de
quando
.
Usamos propriedades básicas de limites (limite da soma e do produto por constante):
Sabemos que
,
e
(constante).
Portanto
Portanto
Passo 3
Agora usamos a continuidade da função
no ponto
. A função
é contínua para todo
. Como o limite do argumento é
, vale a propriedade de continuidade/composição de limites:
E como
, concluímos
Passo 4
Agora tratamos o quociente. Temos o numerador constante
e o denominador cujo limite acabamos de calcular é
. Quando o limite do denominador é diferente de zero, podemos dividir os limites:
Uma observação rigorosa: pela continuidade de
em
existe um raio em torno de
onde
fica próximo de
e, em particular, não é zero; assim a divisão faz sentido nas proximidades do ponto e a operação limite é válida.
Passo 5
Para consolidar a intuição, uma pequena expansão linear do logaritmo perto de
dá
No nosso caso
, que tende a
. Assim o denominador tende a
de forma linear em
e
, confirmando que o quociente tende para
. Um exemplo numérico rápido: se
e
, então
e
, bem próximo de
.