Calcule o limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left[\frac{5}{\ln (x+3 y+e)}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando o ponto (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left[\frac{5}{\ln(x+3y+e)}\right].
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função que aparece é f(x,y)=\dfrac{5}{\ln(x+3y+e)}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,0).
  • É necessário lembrar que a função logarítmica natural \ln(\cdot) só está definida para argumentos positivos, então o argumento x+3y+e precisa ser >0.
  • Note que e é a constante de Euler, com o valor \;e\approx2{,}718\ldots, e portanto e>0.

Passo 2

Primeiro calculemos o limite do argumento de \ln, isto é, o limite de x+3y+e quando (x,y)\to(0,0).
Usamos propriedades básicas de limites (limite da soma e do produto por constante):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+3y+e) = \lim_{(x,y)\to(0,0)}x + 3\lim_{(x,y)\to(0,0)}y + \lim_{(x,y)\to(0,0)}e.
Sabemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)}x=0, \lim_{(x,y)\to(0,0)}y=0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)}e=e (constante).
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+3y+e)=0+3\cdot0+e=e.

Passo 3

Agora usamos a continuidade da função \ln no ponto e. A função \ln(t) é contínua para todo t>0. Como o limite do argumento é e>0, vale a propriedade de continuidade/composição de limites:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ln(x+3y+e)=\ln\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+3y+e)\right)=\ln(e).
E como \ln(e)=1, concluímos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ln(x+3y+e)=1.

Passo 4

Agora tratamos o quociente. Temos o numerador constante 5 e o denominador cujo limite acabamos de calcular é 1\neq0. Quando o limite do denominador é diferente de zero, podemos dividir os limites:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{5}{\ln(x+3y+e)} = \frac{\lim_{(x,y)\to(0,0)}5}{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ln(x+3y+e)} = \frac{5}{1}.
Uma observação rigorosa: pela continuidade de \ln em e existe um raio em torno de (0,0) onde \ln(x+3y+e) fica próximo de 1 e, em particular, não é zero; assim a divisão faz sentido nas proximidades do ponto e a operação limite é válida.

Passo 5

Para consolidar a intuição, uma pequena expansão linear do logaritmo perto de e
\ln(e+h)=1+\frac{h}{e}+o(h)\quad\text{quando }h\to0.
No nosso caso h=x+3y, que tende a 0. Assim o denominador tende a 1 de forma linear em x e y, confirmando que o quociente tende para 5. Um exemplo numérico rápido: se x=0{,}01 e y=0, então \ln(e+0{,}01)\approx1+0{,}01/e\approx1{,}0037 e \dfrac{5}{\ln(e+0{,}01)}\approx4{,}98, bem próximo de 5.

Resposta

5

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