Calcule integral duplaS F cdot n dS, sendo S a fronteira de E com normal exterior n, sendo
E=(x, y, z): 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, 0 <= z <= 4 e F(x, y, z)=x y i+y z j+z^2 k.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo
integral duplaSFcdotn,dS
sobre a fronteira fechada S do sólido
E=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x,;0<= z<=4,
com F(x,y,z)=(xy,yz,z^2). Como S é fronteira de um sólido e a normal é externa, vamos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(xy) +partialpartial y(yz) +partialpartial z(z^2) = y + z + 2z = y + 3z

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaE(y+3z),dV =integralx=0^1!integraly=0^x!integralz=0^4(y+3z),dz,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^4(y+3z),dz =4y + 3cdot4^22 =4y + 24
Em seguida em y:
integral0^x(4y+24),dy =2x^2 + 24x

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^1(2x^2+24x),dx =[tfrac23x^3 +12x^2]0^1 =tfrac23+12 =tfrac383

Resposta

383

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