Sejam f, g: Omega subset R^3 R funções de classe C^2 no aberto Omega. Seja E uma esfera e S a fronteira de E com normal exterior n. Prove
integral duplaS f partial fpartial stackrelharpoonupn d S=integral triplaE(f nabla^2 f+|nabla f|^2) d V.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
integral duplaS f,partial fpartial vec n,dS = integral triplaEl(f,nabla^2 f + |nabla f|^2r),dV
onde EsubsetOmegasubsetR^3 é uma bola de fronteira S com normal exterior vec n, e f é C^2. O instrumento teórico principal é o Teorema da Divergência (de Gauss) em R^3.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
vec A = f,nabla f
Esse campo é de classe C^1 em E porque fin C^2. Nosso objetivo é aplicar o Teorema da Divergência a vec A.

Passo 3

Calculamos a divergência de vec A usando a regra do produto escalar e do divergente:
nablacdotvec A = nablacdotl(f,nabla fr) = nabla fcdotnabla f + f,nablacdotnabla f = |nabla f|^2 + f,nabla^2 f

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência,
integral triplaEnablacdotvec A,dV = integral duplaSvec Acdotvec n,dS
No lado direito substituímos vec A=f,nabla f, então
integral duplaSvec Acdotvec n,dS = integral duplaSf,(nabla fcdotvec n),dS = integral duplaSf,partial fpartial vec n,dS
No lado esquerdo usamos o resultado do Passo 3, chegando a
integral triplaEl(|nabla f|^2 + f,nabla^2 fr),dV

Resposta

integral duplaS f,partial fpartial vec n,dS = integral triplaEl(f,nabla^2 f + |nabla f|^2r),dV

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