Sejam
funções de classe
no aberto
. Seja
uma esfera e
a fronteira de
com normal exterior
. Prove
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
onde
é uma bola de fronteira
com normal exterior
, e
é
. O instrumento teórico principal é o Teorema da Divergência (de Gauss) em
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Esse campo é de classe
em
porque
. Nosso objetivo é aplicar o Teorema da Divergência a
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
usando a regra do produto escalar e do divergente:
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência,
No lado direito substituímos
, então
No lado esquerdo usamos o resultado do Passo 3, chegando a