Calcule de duas maneiras, usando frações parciais e o teorema de convolução, em (a), (b) e ©, (use convolução ou o 35) em (d)), uma função f(t) tal que L[f(t)](s)=F(s), nos seguintes casos:
F(s)=1s(s^2+4);

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada inversa de F(s)=1s(s^2+4) de duas maneiras: usando frações parciais e usando o teorema da convolução. Vamos precisar das transformadas básicas: L[1]=1/s, L[cos(2t)]=s/(s^2+4) e L[sin(2t)]=2/(s^2+4), além da propriedade de convolução L[f*g]=F(s)G(s).

Passo 2

Para frações parciais, escrevemos
1s(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4
Multiplicando tudo por s(s^2+4) vem
1=A(s^2+4)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+4A
Comparando coeficientes:
A+B=0, C=0, 4A=1 A=1/4, B=-1/4, C=0.

Passo 3

Agora aplicamos a inversa de cada termo:


Somando dá

Passo 4

Pela convolução, note que
F(s)=1scdot1s^2+4
Então

Passo 5

As duas abordagens coincidem, de modo que a resposta final é a mesma nos dois casos.

Resposta

f(t)=14l(1-cos(2t)r)

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