Calcule duas soluções, utilizando o método de aproximação de série infinitas no ponto
de cada uma das EDOs :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar duas soluções da equação diferencial
utilizando o método de séries infinitas em torno de
. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de
e determinar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Em seguida, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de
:
- No termo
:
- No termo
:
- No termo
:
Passo 6
Agora, juntamos todas as somas:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos analisar isso para diferentes valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Com a relação de recorrência estabelecida, podemos determinar os coeficientes
em termos de
e
. Vamos considerar dois casos para obter duas soluções distintas.
Caso 1:
e
Usando
:
-
-
-
- Continuando, calculamos mais coeficientes conforme necessário.
Assim, a primeira solução é:
Caso 2:
e
Usando
:
-
(mesmo do caso anterior) -
-
- Continuamos dessa forma, percebendo que todos os coeficientes a partir de
serão zero.
Portanto, a segunda solução é simplesmente:
Resposta
As duas soluções da EDO
no ponto
são:
e