Calcule duas soluções, utilizando o método de aproximação de série infinitas no ponto x = 0 de cada uma das EDOs : y'' + x^2 y + x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar duas soluções da equação diferencial utilizando o método de séries infinitas em torno de . Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Em seguida, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo, temos:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de :
  1. No termo :
  1. No termo :
  1. No termo :

Passo 6

Agora, juntamos todas as somas:
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos analisar isso para diferentes valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com a relação de recorrência estabelecida, podemos determinar os coeficientes em termos de e . Vamos considerar dois casos para obter duas soluções distintas.
Caso 1: e
Usando :
  • Continuando, calculamos mais coeficientes conforme necessário.
Assim, a primeira solução é:
Caso 2: e
Usando :
  • (mesmo do caso anterior)
  • Continuamos dessa forma, percebendo que todos os coeficientes a partir de serão zero.
Portanto, a segunda solução é simplesmente:

Resposta

As duas soluções da EDO no ponto são:
e

Exercícios relacionados