Esboçar as superfícies de nível de
, para os seguintes valores de
.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as superfícies de nível da função
para os valores de
. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como representar graficamente essas equações no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É basicamente o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
. No nosso caso, a equação fica:
Isso significa que para cada valor de
, teremos uma superfície diferente no espaço.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar o esboço:
Essa equação representa um paraboloide. Mais especificamente, é um paraboloide que se abre para baixo porque os termos
e
têm sinais negativos.
Passo 4
Agora, vamos analisar como o valor de
afeta a posição da superfície. Quanto maior for
, mais alto o paraboloide estará em relação ao eixo
. Se
for negativo, o paraboloide fica mais baixo.
Passo 5
Vamos esboçar as superfícies para cada valor de
:
-
Para
: Esse paraboloide está mais baixo no eixo. -
Para
: Um pouco mais alto que o anterior. -
Para
: O paraboloide passa pela origem. -
Para
: Agora o paraboloide está acima da origem. -
Para
: O mais alto entre todos os paraboloides que estamos esboçando.
Passo 6
No esboço, todos esses paraboloides terão a mesma forma, mas estarão deslocados verticalmente de acordo com o valor de
. Eles são simétricos em relação ao eixo
e se abrem para baixo.
Resposta
As superfícies de nível da função
para
são paraboloides que se abrem para baixo, deslocados verticalmente no eixo
conforme o valor de
. Quanto maior o valor de
, mais alto o paraboloide estará no espaço tridimensional.