Esboçar as superfícies de nível de f, para os seguintes valores de k.
c) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z, k = -2, -1, 0, 1, 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as superfícies de nível da função para os valores de . Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como representar graficamente essas equações no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É basicamente o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, a equação fica:
Isso significa que para cada valor de , teremos uma superfície diferente no espaço.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar o esboço:
Essa equação representa um paraboloide. Mais especificamente, é um paraboloide que se abre para baixo porque os termos e têm sinais negativos.

Passo 4

Agora, vamos analisar como o valor de afeta a posição da superfície. Quanto maior for , mais alto o paraboloide estará em relação ao eixo . Se for negativo, o paraboloide fica mais baixo.

Passo 5

Vamos esboçar as superfícies para cada valor de :
  • Para :
    Esse paraboloide está mais baixo no eixo .
  • Para :
    Um pouco mais alto que o anterior.
  • Para :
    O paraboloide passa pela origem.
  • Para :
    Agora o paraboloide está acima da origem.
  • Para :
    O mais alto entre todos os paraboloides que estamos esboçando.

Passo 6

No esboço, todos esses paraboloides terão a mesma forma, mas estarão deslocados verticalmente de acordo com o valor de . Eles são simétricos em relação ao eixo e se abrem para baixo.

Resposta

As superfícies de nível da função para são paraboloides que se abrem para baixo, deslocados verticalmente no eixo conforme o valor de . Quanto maior o valor de , mais alto o paraboloide estará no espaço tridimensional.

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