Encontre a solução geral da equação geral das equação diferencial dadas em (0, infinito): x^2 y'' + x y' + (2 x^2 - 64) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Matéria envolvida: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações de Bessel, que são um tipo especial de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por para facilitar:
Isso ajuda a identificar melhor a forma da equação, que se assemelha à equação de Bessel padrão. A equação de Bessel é dada por:

Passo 3

Notamos que nossa equação tem um termo em vez de e em vez de . Para ajustarmos isso, fazemos uma substituição que ajusta o coeficiente de . Vamos substituir .
Isso transforma nossa equação em termos de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, nossa equação está na forma da equação de Bessel com . Isso significa que a solução geral será uma combinação das funções de Bessel de primeira espécie e de segunda espécie .
Então, substituindo de volta :
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e e são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem 8, respectivamente.

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