Encontre a solução geral da equação geral das equação diferencial dadas em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Matéria envolvida: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações de Bessel, que são um tipo especial de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
para facilitar:
Isso ajuda a identificar melhor a forma da equação, que se assemelha à equação de Bessel padrão. A equação de Bessel é dada por:
Passo 3
Notamos que nossa equação tem um termo
em vez de
e
em vez de
. Para ajustarmos isso, fazemos uma substituição que ajusta o coeficiente de
. Vamos substituir
.
Isso transforma nossa equação em termos de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, nossa equação está na forma da equação de Bessel com
. Isso significa que a solução geral será uma combinação das funções de Bessel de primeira espécie
e de segunda espécie
.
Então, substituindo de volta
:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem 8, respectivamente.