onde t é o ângulo que o vetor \alpha^{\prime}(t) faz com o eixo O y. O traço de \alpha é chamado de tractriz.
Mostre que:
(a) \alpha é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em t=\frac{\pi}{2}.
(b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixo O y é constante e igual a 1.
Passo 1
O enunciado dá a curva \alpha:(0,\pi)\to\mathbb{R}^2 definida por
e pede duas coisas:
(a) mostrar que \alpha é diferenciável e parametrizada, e que é regular em todo (0,\pi) exceto em t=\frac{\pi}{2};
(b) mostrar que, para cada t\in(0,\pi), o comprimento do segmento da reta tangente à tractriz entre o ponto de tangência \alpha(t) e o eixo Oy é constante e igual a 1.
Informações relevantes fornecidas:
A função é dada componente a componente: x(t)=\sin t e y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}.
O domínio é o intervalo aberto (0,\pi) (a função \tan\frac{t}{2} é positiva aí e o \log está bem definido).
A regularidade refere-se a \alpha'(t)\neq(0,0).
Passo 2
Verificar diferenciabilidade componente a componente (ideia geral).
Uma curva \alpha(t)=(x(t),y(t)) é diferenciável se x e y são funções diferenciáveis em t.
Aqui x(t)=\sin t e \cos t são diferenciáveis em (0,\pi) sem problema.
Resta verificar y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}. A soma de diferenciáveis é diferenciável, então basta ver que \log\tan\frac{t}{2} é diferenciável em (0,\pi).
Explicando a derivada de \log\tan\frac{t}{2} (regra da cadeia): primeiro \tan\frac{t}{2} é diferenciável em (0,\pi) e sua derivada é \dfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2}. Aplicando a derivada do \log obtemos uma expressão explícita para a derivada que é finita em (0,\pi). Portanto y(t) é diferenciável em (0,\pi). Conclusão: \alpha é diferenciável em (0,\pi).
Passo 3
Calcular explicitamente \alpha'(t) (passo por passo).
Derivada de x(t)=\sin t é
x'(t)=\cos t.
Derivada de y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2} é soma das derivadas:
\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Agora a derivada de \log\tan\frac{t}{2}: aplicar regra da cadeia:
Simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas: \operatorname{sec}^2\frac{t}{2}=\dfrac{1}{\cos^2\frac{t}{2}} e \tan\frac{t}{2}=\dfrac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}, logo
Verificar regularidade: encontrar onde \alpha'(t)=(0,0).
Regularidade significa \alpha'(t)\neq(0,0).
Resolver o sistema \cos t=0 e -\sin t+\dfrac{1}{\sin t}=0.
Primeiro, \cos t=0 em (0,\pi) ocorre apenas para t=\dfrac{\pi}{2}.
Para t=\dfrac{\pi}{2} temos \sin t=1, então
-\sin t+\frac{1}{\sin t}=-1+1=0.
Logo em t=\dfrac{\pi}{2} ambos os componentes são zero e \alpha'(t)=(0,0).
Se \cos t\neq 0 então o primeiro componente já garante \alpha'(t)\neq(0,0).
Conclusão: \alpha é regular para todo t\in(0,\pi) exceto em t=\dfrac{\pi}{2}, onde \alpha'(t)=(0,0) e portanto não é regular.
Passo 5
Preparação para (b): equação da tangente e interseção com o eixo Oy.
A reta tangente em \alpha(t) tem forma paramétrica
O eixo Oy é o conjunto de pontos com coordenada x=0. Para encontrar a interseção P da tangente com Oy resolvemos a condição da primeira coordenada de L(s) igual a zero:
\text{primeira coord. de }L(s):\quad \sin t + s\cos t =0.
Dessa equação isolamos s:
s=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Portanto o ponto de interseção P é
P=\alpha(t)-\tan t\;\alpha'(t).
Passo 6
Calcular o comprimento do segmento entre \alpha(t) e P.
pois |\tan t|\cdot|\cot t|=1 sempre que \sin t\neq 0 e \cos t\neq 0. Note que em t=\dfrac{\pi}{2} a tangente não é regular, mas para todo t\in(0,\pi)\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} a interseção existe e o comprimento é 1. A extensão por continuidade mostra que a propriedade da distância constante é a característica da tractriz: o segmento de tangente até o eixo Oy tem comprimento 1.
Resposta
(a) \alpha é diferenciável em (0,\pi) e é regular para todo t\in(0,\pi)\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}; em t=\tfrac{\pi}{2} tem \alpha'(t)=(0,0) e portanto não é regular.
(b) O comprimento do segmento da tangente entre o ponto de tangência \alpha(t) e o eixo Oy é constante e igual a 1.