Seja \alpha:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=\left(\operatorname{sen} t, \cos t+\log \operatorname{tg} \frac{t}{2}\right),
onde t é o ângulo que o vetor \alpha^{\prime}(t) faz com o eixo O y. O traço de \alpha é chamado de tractriz.
Mostre que:
(a) \alpha é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em t=\frac{\pi}{2}.
(b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixo O y é constante e igual a 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:(0,\pi)\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=\big(\sin t,\;\cos t+\log\!\tan\frac{t}{2}\big),
e pede duas coisas:
(a) mostrar que \alpha é diferenciável e parametrizada, e que é regular em todo (0,\pi) exceto em t=\frac{\pi}{2};
(b) mostrar que, para cada t\in(0,\pi), o comprimento do segmento da reta tangente à tractriz entre o ponto de tangência \alpha(t) e o eixo Oy é constante e igual a 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada componente a componente: x(t)=\sin t e y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}.
  • O domínio é o intervalo aberto (0,\pi) (a função \tan\frac{t}{2} é positiva aí e o \log está bem definido).
  • A regularidade refere-se a \alpha'(t)\neq(0,0).

Passo 2

Verificar diferenciabilidade componente a componente (ideia geral).
  • Uma curva \alpha(t)=(x(t),y(t)) é diferenciável se x e y são funções diferenciáveis em t.
  • Aqui x(t)=\sin t e \cos t são diferenciáveis em (0,\pi) sem problema.
  • Resta verificar y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}. A soma de diferenciáveis é diferenciável, então basta ver que \log\tan\frac{t}{2} é diferenciável em (0,\pi).
    Explicando a derivada de \log\tan\frac{t}{2} (regra da cadeia): primeiro \tan\frac{t}{2} é diferenciável em (0,\pi) e sua derivada é \dfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2}. Aplicando a derivada do \log obtemos uma expressão explícita para a derivada que é finita em (0,\pi). Portanto y(t) é diferenciável em (0,\pi). Conclusão: \alpha é diferenciável em (0,\pi).

Passo 3

Calcular explicitamente \alpha'(t) (passo por passo).
  • Derivada de x(t)=\sin t é
x'(t)=\cos t.
  • Derivada de y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2} é soma das derivadas:
\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Agora a derivada de \log\tan\frac{t}{2}: aplicar regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\log\!\tan\frac{t}{2} =\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}\cdot\frac{d}{dt}\tan\frac{t}{2} =\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2}.
Simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas: \operatorname{sec}^2\frac{t}{2}=\dfrac{1}{\cos^2\frac{t}{2}} e \tan\frac{t}{2}=\dfrac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}, logo
\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}.
Usando \sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2} segue
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}=\frac{1}{\sin t}.
Portanto a derivada total é
y'(t)=-\sin t+\frac{1}{\sin t}.
Assim, a derivada da curva é
\alpha'(t)=\big(\cos t,\; -\sin t+\frac{1}{\sin t}\big).

Passo 4

Verificar regularidade: encontrar onde \alpha'(t)=(0,0).
  • Regularidade significa \alpha'(t)\neq(0,0).
  • Resolver o sistema \cos t=0 e -\sin t+\dfrac{1}{\sin t}=0.
    Primeiro, \cos t=0 em (0,\pi) ocorre apenas para t=\dfrac{\pi}{2}.
    Para t=\dfrac{\pi}{2} temos \sin t=1, então
-\sin t+\frac{1}{\sin t}=-1+1=0.
Logo em t=\dfrac{\pi}{2} ambos os componentes são zero e \alpha'(t)=(0,0).
  • Se \cos t\neq 0 então o primeiro componente já garante \alpha'(t)\neq(0,0).
    Conclusão: \alpha é regular para todo t\in(0,\pi) exceto em t=\dfrac{\pi}{2}, onde \alpha'(t)=(0,0) e portanto não é regular.

Passo 5

Preparação para (b): equação da tangente e interseção com o eixo Oy.
  • A reta tangente em \alpha(t) tem forma paramétrica
L(s)=\alpha(t)+s\,\alpha'(t),\quad s\in\mathbb{R}.
  • O eixo Oy é o conjunto de pontos com coordenada x=0. Para encontrar a interseção P da tangente com Oy resolvemos a condição da primeira coordenada de L(s) igual a zero:
\text{primeira coord. de }L(s):\quad \sin t + s\cos t =0.
Dessa equação isolamos s:
s=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Portanto o ponto de interseção P é
P=\alpha(t)-\tan t\;\alpha'(t).

Passo 6

Calcular o comprimento do segmento entre \alpha(t) e P.
  • O vetor que vai de \alpha(t) a P é
\overrightarrow{\alpha(t)P}=P-\alpha(t)=-\tan t\;\alpha'(t).
  • O comprimento desse segmento é a norma desse vetor:
\big\|\overrightarrow{\alpha(t)P}\big\|=|\tan t|\;\big\|\alpha'(t)\big\|.
Logo precisamos calcular \big\|\alpha'(t)\big\|. Primeiro calcule o quadrado da norma:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2=\cos^2 t+\Big(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\Big)^{\!2}.
Expandir o quadrado do segundo termo:
\Big(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\Big)^{\!2}=\sin^2 t-2+\frac{1}{\sin^2 t}.
Somando com \cos^2 t e usando \sin^2 t+\cos^2 t=1 obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 =1-2+\frac{1}{\sin^2 t}=-1+\frac{1}{\sin^2 t}=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
Portanto
\big\|\alpha'(t)\big\|=\frac{|\cos t|}{|\sin t|}=|\cot t|.
  • Voltando ao comprimento do segmento:
\big\|\overrightarrow{\alpha(t)P}\big\|=|\tan t|\;|\cot t|=1,
pois |\tan t|\cdot|\cot t|=1 sempre que \sin t\neq 0 e \cos t\neq 0. Note que em t=\dfrac{\pi}{2} a tangente não é regular, mas para todo t\in(0,\pi)\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} a interseção existe e o comprimento é 1. A extensão por continuidade mostra que a propriedade da distância constante é a característica da tractriz: o segmento de tangente até o eixo Oy tem comprimento 1.

Resposta

(a) \alpha é diferenciável em (0,\pi) e é regular para todo t\in(0,\pi)\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}; em t=\tfrac{\pi}{2} tem \alpha'(t)=(0,0) e portanto não é regular.
(b) O comprimento do segmento da tangente entre o ponto de tangência \alpha(t) e o eixo Oy é constante e igual a 1.

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