(*) Calcule v_{\text {rqm }} para um átomo de hélio e para uma molécula de nitrogênio ( \mathrm{N}_{2}; massa molecular de 28 g por mol ) na sala em que você se encontra (cuja temperatura provavelmente está em torno de 293 K ).
Passo 1
O problema pede para calcular a velocidade quadrática média v_{\text{rqm}} (também chamada de velocidade RMS) para duas espécies na sala à temperatura aproximada de 293\\ \text{K}: um átomo de hélio e uma molécula de nitrogênio \mathrm{N}_2. Informações dadas e que usarei:
T = 293\\ \text{K}
\text{massa molar do hélio: } M_{\text{He}} \approx 4,00\\ \text{g/mol}
\text{massa molar do } \mathrm{N}_2: M_{\mathrm{N}_2} = 28,0\\ \text{g/mol}
Constante dos gases:
R = 8,3145\\ \text{J}\,(\text{mol}\cdot\text{K})^{-1}.
Vou converter massas molares para \text{kg/mol} (requisito para usar R nas unidades SI). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conceito e fórmula: pela teoria cinética dos gases, a energia cinética média por molécula está relacionada à temperatura por
\frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T,
onde m é a massa de uma molécula, \overline{v^{2}} é a média do quadrado da velocidade, k é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. A velocidade quadrática média é definida como
v_{\text{rqm}} = \sqrt{\overline{v^{2}}}.
Convertendo para grandezas por mol (multiplicando ambos os lados por N_A e usando R = N_A k) obtemos a forma prática:
v_{\text{rqm}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},
onde M é a massa molar em \text{kg/mol}. Explico cada símbolo:
v_{\text{rqm}}: velocidade quadrática média (magnitude típica das velocidades das partículas);
R: constante universal dos gases (8,3145\\ \text{J/(mol K)});
T: temperatura absoluta em kelvin;
M: massa molar da espécie em \text{kg/mol}.
Passo 3
Converter as massas molares de \text{g/mol} para \text{kg/mol}:
Interpretação rápida (para te animar): a razão pela qual o hélio é muito mais rápido que o \mathrm{N}_2 é que, à mesma temperatura, partículas mais leves têm velocidades típicas maiores (mesma energia média, massa menor → velocidade maior). Esses valores estão na ordem de grandeza esperada: algumas centenas de m/s para moléculas diatômicas e mais de mil m/s para átomos leves.