(*) Calcule v_{\text {rqm }} para um átomo de hélio e para uma molécula de nitrogênio ( \mathrm{N}_{2}; massa molecular de 28 g por mol ) na sala em que você se encontra (cuja temperatura provavelmente está em torno de 293 K ).

Passo 1

O problema pede para calcular a velocidade quadrática média v_{\text{rqm}} (também chamada de velocidade RMS) para duas espécies na sala à temperatura aproximada de 293\\ \text{K}: um átomo de hélio e uma molécula de nitrogênio \mathrm{N}_2. Informações dadas e que usarei:
T = 293\\ \text{K}
\text{massa molar do hélio: } M_{\text{He}} \approx 4,00\\ \text{g/mol}é
\text{massa molar do } \mathrm{N}_2: M_{\mathrm{N}_2} = 28,0\\ \text{g/mol}
Constante dos gases:
R = 8,3145\\ \text{J}\,(\text{mol}\cdot\text{K})^{-1}.
Vou converter massas molares para \text{kg/mol} (requisito para usar R nas unidades SI). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceito e fórmula: pela teoria cinética dos gases, a energia cinética média por molécula está relacionada à temperatura por
\frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T,
onde m é a massa de uma molécula, \overline{v^{2}} é a média do quadrado da velocidade, k é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. A velocidade quadrática média é definida como
v_{\text{rqm}} = \sqrt{\overline{v^{2}}}.
Convertendo para grandezas por mol (multiplicando ambos os lados por N_A e usando R = N_A k) obtemos a forma prática:
v_{\text{rqm}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},
onde M é a massa molar em \text{kg/mol}. Explico cada símbolo:
  • v_{\text{rqm}}: velocidade quadrática média (magnitude típica das velocidades das partículas);
  • R: constante universal dos gases ( 8,3145\\ \text{J/(mol K)});
  • T: temperatura absoluta em kelvin;
  • M: massa molar da espécie em \text{kg/mol}.

Passo 3

Converter as massas molares de \text{g/mol} para \text{kg/mol}:
M_{\text{He}} = 4,00\\ \text{g/mol} = 0,00400\\ \text{kg/mol},
M_{\mathrm{N}_2} = 28,0\\ \text{g/mol} = 0,0280\\ \text{kg/mol}.
Vou agora aplicar a fórmula para cada caso.

Passo 4

Cálculo para o hélio usando
v_{\text{rqm}}(\text{He}) = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{\text{He}}}}.
Substituindo os valores:
v_{\text{rqm}}(\text{He}) = \sqrt{\frac{3\cdot 8,3145\cdot 293}{0,00400}}.
Calculo do numerador:
3\cdot 8,3145\cdot 293 = 24,9435\cdot 293 = 7308,4455.
Dividindo por M_{\text{He}}:
\frac{7308,4455}{0,00400} = 1\,827\,111,375.
Agora a raiz quadrada:
v_{\text{rqm}}(\text{He}) = \sqrt{1\,827\,111,375} \approx 1\,351,3\\ \text{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v_{\text{rqm}}(\text{He}) \approx 1,35\times 10^{3}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Cálculo para a molécula de nitrogênio \mathrm{N}_2 usando
v_{\text{rqm}}(\mathrm{N}_2) = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{\mathrm{N}_2}}}.
Substituindo:
v_{\text{rqm}}(\mathrm{N}_2) = \sqrt{\frac{3\cdot 8,3145\cdot 293}{0,0280}}.
O numerador já calculado é 7308,4455. Dividindo por M_{\mathrm{N}_2}:
\frac{7308,4455}{0,0280} = 261\,015,1964\\ (\text{aprox.}).
Raiz quadrada:
v_{\text{rqm}}(\mathrm{N}_2) = \sqrt{261\,015,1964} \approx 510,9\\ \text{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
v_{\text{rqm}}(\mathrm{N}_2) \approx 5,11\times 10^{2}\\ \text{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida (para te animar): a razão pela qual o hélio é muito mais rápido que o \mathrm{N}_2 é que, à mesma temperatura, partículas mais leves têm velocidades típicas maiores (mesma energia média, massa menor → velocidade maior). Esses valores estão na ordem de grandeza esperada: algumas centenas de m/s para moléculas diatômicas e mais de mil m/s para átomos leves.

Resposta

v_{\text{rqm}}(\text{He}) \approx 1,35\times 10^{3}\\ \text{m/s}
v_{\text{rqm}}(\mathrm{N}_2) \approx 5,11\times 10^{2}\\ \text{m/s}

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