Considere a função potencial elétrico de um campo dada por V(x, y)=3 x^{2}+4 y^{2}, no SI. Determine o vetor que representa esse campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá a função potencial elétrico
V(x,y)=3x^{2}+4y^{2},
no SI. A tarefa é: determinar o vetor que representa o campo elétrico associado a esse potencial.
Informações relevantes dadas: a expressão de V(x,y) (polinômio em x e y) e que as unidades são do Sistema Internacional (SI).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado com calma): o campo elétrico \vec{E} e o potencial elétrico V estão relacionados pela fórmula
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de V. A interpretação intuitiva: o gradiente aponta na direção de maior aumento de V; o sinal negativo faz com que \vec{E} aponte para a direção em que V diminui mais rapidamente (o campo aponta “para baixo” no potencial). Não se assuste com nomes — “gradiente” é só um jeito formal de juntar as taxas de variação em cada direção.

Passo 3

Definição do gradiente em coordenadas cartesianas (explicando cada símbolo):
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial V}{\partial x} significa: derivar V em relação a x tratando y como constante; e \frac{\partial V}{\partial y} é derivar em relação a y tratando x como constante. Esse procedimento é necessário porque V depende de duas variáveis.

Passo 4

Calculemos \frac{\partial V}{\partial x}. A função é V(x,y)=3x^{2}+4y^{2}. Derivando termo a termo em relação a x:
  • A derivada de 3x^{2} em relação a x é 3\cdot 2x = 6x.
  • A derivada de 4y^{2} em relação a x é 0 (porque y é tratado como constante).
    Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=6x.

Passo 5

Calculemos \frac{\partial V}{\partial y}. Derivando em relação a y:
  • A derivada de 3x^{2} em relação a y é 0.
  • A derivada de 4y^{2} em relação a y é 4\cdot 2y = 8y.
    Logo
\frac{\partial V}{\partial y}=8y.

Passo 6

Agora montamos o gradiente com as componentes encontradas:
\nabla V = (6x,\;8y).
Aplicando a relação \vec{E}=-\nabla V, obtemos
\vec{E}(x,y)=(-6x,\;-8y).
Se preferir em notação com vetores unitários:
\vec{E}(x,y)=-6x\,\hat{\mathbf{i}}-8y\,\hat{\mathbf{j}}.
Como V está em volts e coordenadas em metros (SI), as componentes de \vec{E} têm unidade de volt por metro, isto é, \text{V/m}.

Passo 7

Interpretação rápida e um exemplo numérico para fixar: o campo aponta sempre radialmente para fora ou para dentro conforme o sinal de x e y. Por exemplo, em (x,y)=(1,0) temos \vec{E}(-6,0)\,\text{V/m} (ou seja, aponta no sentido negativo de x). A magnitude do campo é
|\vec{E}(x,y)|=\sqrt{(6x)^{2}+(8y)^{2}}.
Tudo isso vem direto da relação entre potencial e gradiente; decorar \vec{E}=-\nabla V e saber calcular derivadas parciais é o suficiente para coisas desse tipo.

Resposta

\vec{E}(x,y)=(-6x,\,-8y)\\ \text{V/m}

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