Considere a função potencial elétrico de um campo dada por
, no SI. Determine o vetor que representa esse campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá a função potencial elétrico
no SI. A tarefa é: determinar o vetor que representa o campo elétrico associado a esse potencial.
Informações relevantes dadas: a expressão de (polinômio em
e
) e que as unidades são do Sistema Internacional (SI).
Informações relevantes dadas: a expressão de
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado com calma): o campo elétrico
e o potencial elétrico
estão relacionados pela fórmula
Aqui
é o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
. A interpretação intuitiva: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
; o sinal negativo faz com que
aponte para a direção em que
diminui mais rapidamente (o campo aponta “para baixo” no potencial). Não se assuste com nomes — “gradiente” é só um jeito formal de juntar as taxas de variação em cada direção.
Passo 3
Definição do gradiente em coordenadas cartesianas (explicando cada símbolo):
Aqui
significa: derivar
em relação a
tratando
como constante; e
é derivar em relação a
tratando
como constante. Esse procedimento é necessário porque
depende de duas variáveis.
Passo 4
Calculemos
. A função é
. Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (porque é tratado como constante).
Portanto
Passo 5
Calculemos
. Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 6
Agora montamos o gradiente com as componentes encontradas:
Aplicando a relação
, obtemos
Se preferir em notação com vetores unitários:
Como
está em volts e coordenadas em metros (SI), as componentes de
têm unidade de volt por metro, isto é,
.
Passo 7
Interpretação rápida e um exemplo numérico para fixar: o campo aponta sempre radialmente para fora ou para dentro conforme o sinal de
e
. Por exemplo, em
temos
(ou seja, aponta no sentido negativo de
). A magnitude do campo é
Tudo isso vem direto da relação entre potencial e gradiente; decorar
e saber calcular derivadas parciais é o suficiente para coisas desse tipo.