Calcule a energia cinética do oscilador harmônico crítico. Ache também a energia potencial elástica e a energia total
é constante? Calcule a taxa de dissipação de energia, ou seja, a potência
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a energia cinética
do oscilador. - Calcular a energia potencial elástica
. - Calcular a energia total
e responder se é constante. - Calcular a taxa de dissipação de energia (potência)
.
Informações e convenções que vamos usar (todas inferidas do enunciado “oscilador harmônico crítico”):
- Massa do corpo:
. - Constante elástica da mola:
. - Coeficiente de amortecimento viscoso:
. - Definimos a pulsação natural sem amortecimento
por . - Condição de amortecimento crítico:
. - Equação do movimento (amortecimento linear viscosa):
- Vamos escrever a solução geral para o caso crítico e usar as condições iniciais usuais
e para obter constantes explícitas. As energias serão expressas em termos de (ou ), , e .
Passo 2
Resolver a EDO no caso crítico e obter
.
Para
a equação característica tem raiz real dupla
, logo a solução geral é
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aplicando
dá
Derivando
e avaliando em
obtemos
Em
temos
, portanto
Assim a solução, expressa nas condições iniciais, é
Passo 3
Obter
numa forma simples (usar as constantes já obtidas).
Usando
e
e a expressão geral para
,
Como
(veja cálculo em Passo 2), simplifica-se para
Essa expressão é útil para colocar nas fórmulas de energia.
Passo 4
Calcular a energia cinética
.
Definição física (fórmula): a energia cinética é
onde
é a velocidade. Substituindo a expressão de
do passo anterior,
Explicando as variáveis:
é a massa,
velocidade inicial,
posição inicial,
. Observe o fator
que mostra decaimento causado pelo amortecimento.
Passo 5
Calcular a energia potencial elástica
.
Definição (fórmula da energia armazenada na mola):
Substituindo
do Passo 2,
Também podemos escrever usando
se quisermos factor comum com
.
Passo 6
Calcular a energia total
e investigar se é constante.
Energia total é soma:
Substituindo as expressões dos passos anteriores e usando
para simplificar,
Para responder se
é constante, é mais simples derivar
em forma geral (sem expandir). Calculemos a derivada temporal usando
e
:
Pela equação de movimento
segue
. Assim
Como
, temos
, estritamente negativo quando
. Portanto:
- A energia total não é constante; ela decresce no tempo devido à dissipação por amortecimento.
Passo 7
Calcular a taxa de dissipação de energia (potência)
.
Podemos definir a potência dissipada
como a taxa com que a energia mecânica é removida do sistema por forças dissipativas; essa potência é o negativo de
:
Usando
(amortecimento crítico) e a expressão de
do Passo 3, obtemos a forma explícita
Observações finais:
e é zero apenas quando
. A energia total decai porque essa potência é positiva (energia é transformada em calor no amortecedor).