Calcule a energia cinética do oscilador harmônico crítico. Ache também a energia potencial elástica e a energia total E . E é constante? Calcule a taxa de dissipação de energia, ou seja, a potência P.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a energia cinética T(t) do oscilador.
  • Calcular a energia potencial elástica U(t).
  • Calcular a energia total E(t)=T(t)+U(t) e responder se E é constante.
  • Calcular a taxa de dissipação de energia (potência) P(t).
Informações e convenções que vamos usar (todas inferidas do enunciado “oscilador harmônico crítico”):
  • Massa do corpo: m>0.
  • Constante elástica da mola: k>0.
  • Coeficiente de amortecimento viscoso: c.
  • Definimos a pulsação natural sem amortecimento \omega_0 por \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Condição de amortecimento crítico: \displaystyle c=c_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}=2m\omega_0.
  • Equação do movimento (amortecimento linear viscosa):
m\ddot x + c\dot x + kx = 0.
  • Vamos escrever a solução geral para o caso crítico e usar as condições iniciais usuais \,x(0)=x_0 e \dot x(0)=v_0 para obter constantes explícitas. As energias serão expressas em termos de m,k (ou \omega_0), x_0, v_0 e t.

Passo 2

Resolver a EDO no caso crítico e obter x(t).
Para c=c_{\text{crit}}=2m\omega_0 a equação característica tem raiz real dupla -\omega_0, logo a solução geral é
x(t)=(A+Bt)e^{-\omega_0 t},
onde A,B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aplicando x(0)=x_0
A=x_0.
Derivando x(t) e avaliando em t=0 obtemos
\dot x(t)=\frac{d}{dt}\big[(A+Bt)e^{-\omega_0 t}\big] = e^{-\omega_0 t}\big(B-\omega_0(A+Bt)\big).
Em t=0 temos \dot x(0)=v_0=B-\omega_0 A, portanto
B=v_0+\omega_0 A = v_0+\omega_0 x_0.
Assim a solução, expressa nas condições iniciais, é
x(t)=\bigl(x_0+(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)e^{-\omega_0 t}.

Passo 3

Obter \dot x(t) numa forma simples (usar as constantes já obtidas).
Usando A=x_0 e B=v_0+\omega_0 x_0 e a expressão geral para \dot x(t),
\dot x(t)=e^{-\omega_0 t}\bigl(B-\omega_0 A-\omega_0 B t\bigr).
Como B-\omega_0 A=v_0 (veja cálculo em Passo 2), simplifica-se para
\dot x(t)=e^{-\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0 B t\bigr) = e^{-\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr).
Essa expressão é útil para colocar nas fórmulas de energia.

Passo 4

Calcular a energia cinética T(t).
Definição física (fórmula): a energia cinética é
T(t)=\frac{1}{2}m\dot x(t)^2,
onde \dot x(t) é a velocidade. Substituindo a expressão de \dot x(t) do passo anterior,
T(t)=\frac{1}{2}m\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2.
Explicando as variáveis: m é a massa, v_0 velocidade inicial, x_0 posição inicial, \omega_0=\sqrt{k/m}. Observe o fator e^{-2\omega_0 t} que mostra decaimento causado pelo amortecimento.

Passo 5

Calcular a energia potencial elástica U(t).
Definição (fórmula da energia armazenada na mola):
U(t)=\frac{1}{2}k x(t)^2.
Substituindo x(t) do Passo 2,
U(t)=\frac{1}{2}k\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(x_0+(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2.
Também podemos escrever usando k=m\omega_0^2 se quisermos factor comum com m.

Passo 6

Calcular a energia total E(t) e investigar se é constante.
Energia total é soma:
E(t)=T(t)+U(t).
Substituindo as expressões dos passos anteriores e usando k=m\omega_0^2 para simplificar,
E(t)=\frac{1}{2}m\,e^{-2\omega_0 t}\Bigl[\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2 +\omega_0^2\bigl(x_0+(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2\Bigr].
Para responder se E é constante, é mais simples derivar E(t) em forma geral (sem expandir). Calculemos a derivada temporal usando T=\tfrac12 m\dot x^2 e U=\tfrac12 kx^2:
\frac{dE}{dt}=m\dot x\ddot x + kx\dot x = \dot x\bigl(m\ddot x+kx\bigr).
Pela equação de movimento m\ddot x + c\dot x + kx = 0 segue m\ddot x+kx = -c\dot x. Assim
\frac{dE}{dt}=\dot x(-c\dot x)=-c\dot x^2.
Como c=c_{\text{crit}}=2m\omega_0>0, temos \displaystyle \frac{dE}{dt}=-c\dot x^2\le 0, estritamente negativo quando \dot x\neq0. Portanto:
  • A energia total não é constante; ela decresce no tempo devido à dissipação por amortecimento.

Passo 7

Calcular a taxa de dissipação de energia (potência) P(t).
Podemos definir a potência dissipada P_{\text{diss}}(t) como a taxa com que a energia mecânica é removida do sistema por forças dissipativas; essa potência é o negativo de \frac{dE}{dt}:
P_{\text{diss}}(t)=-\frac{dE}{dt}=c\dot x^2.
Usando c=2m\omega_0 (amortecimento crítico) e a expressão de \dot x(t) do Passo 3, obtemos a forma explícita
P_{\text{diss}}(t)=2m\omega_0\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2.
Observações finais: P_{\text{diss}}(t)\ge0 e é zero apenas quando \dot x(t)=0. A energia total decai porque essa potência é positiva (energia é transformada em calor no amortecedor).

Resposta

T(t)=\dfrac{1}{2}m\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2
U(t)=\dfrac{1}{2}k\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(x_0+(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2
E(t)=\dfrac{1}{2}m\,e^{-2\omega_0 t}\Big[\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2+\omega_0^2\bigl(x_0+(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2\Big]
E não é constante (pois \dfrac{dE}{dt}=-c\dot x^2<0 quando \dot x\neq0, com c=2m\omega_0).
P_{\text{diss}}(t)=-\dfrac{dE}{dt}=c\dot x^2=2m\omega_0\,e^{-2\omega_0 t}\bigl(v_0-\omega_0(v_0+\omega_0 x_0)\,t\bigr)^2

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