A velocidade de escape da superfície do planeta é dada por
. Na lua, moléculas
e o raio
. Admitindo uma temperatura de 300 K , que fração de moléculas de nitrogênio possuem velocidades que excedem à velocidade de escape?
Passo 1
O enunciado pede a fração de moléculas de nitrogênio cuja velocidade excede a velocidade de escape na superfície da Lua, assumindo
. Dados fornecidos:
-
(aceleração gravitacional na Lua); -
(raio da Lua); - Temperatura
; - Considerar moléculas de nitrogênio
(massa molar ).
O que precisamos calcular:
- A velocidade de escape
. - A fração de moléculas com velocidade
na distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann a .
Passo 2
Calcular numericamente a velocidade de escape
.
Substituindo os valores:
Portanto,
Passo 3
Determinar a massa de uma molécula de
. Usamos a massa molar
e o número de Avogadro
.
Passo 4
Explicar a distribuição de velocidades e a fórmula para a fração acima de
.
A distribuição de velocidades (em módulo da velocidade) para um gás ideal em equilíbrio térmico (Maxwell–Boltzmann) é
Aqui:
-
é a velocidade do indivíduo; -
é a massa da molécula; -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura.
É conveniente introduzir a velocidade térmica de escala
Definindo
, a densidade em
fica
A fração de moléculas com
é
onde
A integral pode ser feita por partes; o resultado conhecido é
onde
é a função erro complementar. Para
grande a parcela
domina, pois
é ainda mais pequena.
Passo 5
Calcular
numericamente.
Usando
,
e
:
Portanto
Passo 6
Calcular
.
Passo 7
Avaliar
usando a fórmula do passo 4.
Primeiro calculamos
e a exponencial:
Calculamos a segunda parcela dominante:
A função
para
é muito menor (da ordem de
) e pode ser negligenciada diante da parcela calculada. Assim
Passo 8
Interpretação e comentário final: essa fração é extremamente pequena; significa que, a
, praticamente nenhuma molécula de
tem velocidade acima da velocidade de escape lunar — a perda térmica direta por escape de Maxwell-Boltzmann é desprezível nessa condição.