A velocidade de escape da superfície do planeta é dada por V_{e}=(2 g R)^{1 / 2}. Na lua, moléculas \mathrm{g}=1,67 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e o raio \mathrm{R}_{\mathrm{L}}=1,74 \times 10^{6} \mathrm{~m}. Admitindo uma temperatura de 300 K , que fração de moléculas de nitrogênio possuem velocidades que excedem à velocidade de escape?

Passo 1

O enunciado pede a fração de moléculas de nitrogênio cuja velocidade excede a velocidade de escape na superfície da Lua, assumindo T=300\\ \text{K}. Dados fornecidos:
  • g = 1,67\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração gravitacional na Lua);
  • R_{\mathrm{L}} = 1,74\times10^{6}\\ \mathrm{m} (raio da Lua);
  • Temperatura T = 300\\ \text{K};
  • Considerar moléculas de nitrogênio \mathrm{N_2} (massa molar M \approx 28,02\\ \mathrm{g/mol}).
O que precisamos calcular:
  1. A velocidade de escape \,V_{e}=\sqrt{2 g R_{\mathrm{L}}}\,.
  2. A fração de moléculas com velocidade v>V_{e} na distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann a T=300\\ \text{K}.

Passo 2

Calcular numericamente a velocidade de escape \,V_{e}.
V_{e}=\sqrt{2 g R_{\mathrm{L}}}
Substituindo os valores:
2 g R_{\mathrm{L}} = 2\cdot 1,67\cdot 1,74\times10^{6} = 5{,}8116\times10^{6}
V_{e} = \sqrt{5{,}8116\times10^{6}}\approx 2{,}4107\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
V_{e}\approx 2{,}41\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar a massa de uma molécula de \mathrm{N_2}. Usamos a massa molar M=28{,}02\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02802\\ \mathrm{kg/mol} e o número de Avogadro N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
m=\frac{M}{N_A}=\frac{0{,}02802}{6{,}02214076\times10^{23}}\approx 4{,}654\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Explicar a distribuição de velocidades e a fórmula para a fração acima de V_{e}.
A distribuição de velocidades (em módulo da velocidade) para um gás ideal em equilíbrio térmico (Maxwell–Boltzmann) é
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^{2} e^{-\,\dfrac{m v^{2}}{2 k_B T}}.
Aqui:
  • v é a velocidade do indivíduo;
  • m é a massa da molécula;
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura.
É conveniente introduzir a velocidade térmica de escala
v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}.
Definindo x=\dfrac{v}{v_{\mathrm{th}}}, a densidade em x fica
f_x(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}} x^{2} e^{-x^{2}},\qquad \text{com } \int_{0}^{\infty} f_x(x)\,dx =1.
A fração de moléculas com v>V_{e} é
P(v>V_{e})=\int_{V_{e}}^{\infty} f(v)\,dv = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{\pi}} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx,
onde
x_{0}=\frac{V_{e}}{v_{\mathrm{th}}}.
A integral pode ser feita por partes; o resultado conhecido é
\boxed{P(v>V_{e}) = \operatorname{erfc}(x_{0}) + \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,x_{0}\,e^{-x_{0}^{2}}}
onde \operatorname{erfc} é a função erro complementar. Para x_{0} grande a parcela \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}x_{0}e^{-x_{0}^{2}} domina, pois \operatorname{erfc}(x_{0}) é ainda mais pequena.

Passo 5

Calcular v_{\mathrm{th}}=\sqrt{2 k_B T/m} numericamente.
Usando k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}, T=300\\ \text{K} e m=4{,}654\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}:
2 k_B T = 2\cdot 1{,}380649\times10^{-23}\cdot 300 = 8{,}283894\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
v_{\mathrm{th}}^{2} = \frac{8{,}283894\times10^{-21}}{4{,}654\times10^{-26}} \approx 1{,}7798\times10^{5}\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
v_{\mathrm{th}} = \sqrt{1{,}7798\times10^{5}}\approx 4,2197\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
v_{\mathrm{th}}\approx 4,22\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular x_{0} = V_{e}/v_{\mathrm{th}}.
x_{0} \approx \frac{2{,}4107\times10^{3}}{4{,}2197\times10^{2}} \approx 5{,}7148.

Passo 7

Avaliar P(v>V_{e}) usando a fórmula do passo 4.
Primeiro calculamos x_{0}^{2} e a exponencial:
x_{0}^{2}\approx (5{,}7148)^{2}\approx 32{,}664, \qquad e^{-x_{0}^{2}}\approx e^{-32{,}664}\approx 6{,}9\times10^{-15}.
Calculamos a segunda parcela dominante:
\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,x_{0}\,e^{-x_{0}^{2}} \approx 1{,}128379\cdot 5{,}7148\cdot 6{,}9\times10^{-15} \approx 4{,}4\times10^{-14}.
A função \operatorname{erfc}(x_{0}) para x_{0}\approx5{,}7 é muito menor (da ordem de 10^{-16}) e pode ser negligenciada diante da parcela calculada. Assim
P(v>V_{e})\approx 4{,}4\times10^{-14}.

Passo 8

Interpretação e comentário final: essa fração é extremamente pequena; significa que, a T=300\\ \text{K}, praticamente nenhuma molécula de \mathrm{N_2} tem velocidade acima da velocidade de escape lunar — a perda térmica direta por escape de Maxwell-Boltzmann é desprezível nessa condição.

Resposta

4{,}4\times10^{-14}

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