2- Um sistema composto de 30 osciladores harmônicos quânticos desacoplados igualmente excitados (com o mesmo modo de vibração) e com a mesma frequência tem a mesma energia que um sistema de 50 osciladores harmônicos quânticos desacoplados que estão igualmente excitados um modo a cima que os osciladores do conjunto anterior (com um modo de vibração a mais) e têm a mesma frequência de vibração. Se o segundo conjunto oscila com o triplo da frequência de oscilação do primeiro conjunto, qual é o modo de vibração desses dois conjuntos?

Passo 1

O enunciado dá duas configurações de osciladores e pede o “modo de vibração” comum dos dois conjuntos. Vou extrair e listar com clareza os dados e o que se pede:
  • Primeiro sistema: 30 osciladores harmônicos quânticos desacoplados, todos igualmente excitados, com o mesmo modo de vibração (vou chamar esse modo de n) e todos com a mesma frequência (vou chamar de \omega_1).
  • Segundo sistema: 50 osciladores harmônicos quânticos desacoplados, todos igualmente excitados, cada oscilador estando “um modo acima” dos osciladores do primeiro conjunto — isto é, seu modo é n+1 (um nível quântico a mais por oscilador) — e todos esses têm a mesma frequência interna (vou chamar de \omega_2).
  • Informação extra do enunciado: o segundo conjunto oscila com o triplo da frequência do primeiro conjunto, isto é \omega_2 = 3\omega_1.
  • Condição que relaciona os dois sistemas: a energia total do primeiro sistema é igual à energia total do segundo sistema.
  • O que se pede: determinar o modo de vibração desses dois conjuntos, ou seja, encontrar n (o número quântico associado ao modo dos osciladores do primeiro conjunto; o segundo conjunto então está em n+1).
Observação: estou apenas organizando os dados e identificando o que o problema pede; ainda não resolvi nada neste passo.

Passo 2

Conceito básico necessário (com calma e sem pular etapas):
  • Para o oscilador harmônico quântico isolado, os níveis de energia (valores permitidos) são dados pela fórmula
E_n = \hbar \omega \left(n+\tfrac{1}{2}\right),
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (constante, mesma para todos os osciladores),
  • \omega é a frequência angular do oscilador,
  • n é o número quântico do nível de energia, que toma valores inteiros \,n=0,1,2,\dots,
  • \tfrac{1}{2}\hbar\omega é a energia de ponto zero (energia mínimo do estado base).
  • Se temos N osciladores idênticos e independe ntes (desacoplados), todos no mesmo nível n e com a mesma frequência \omega, a energia total do conjunto é simplesmente N vezes a energia de cada oscilador:
E_{\text{total}} = N \, E_n = N \,\hbar \omega \left(n+\tfrac{1}{2}\right).
Explicando as variáveis de novo de forma prática:
  • N é o número de osciladores (aqui 30 ou 50),
  • n é o modo (número quântico) que queremos achar,
  • \omega é a frequência de cada conjunto (há \omega_1 para o primeiro conjunto e \omega_2 para o segundo).
Esses dois pontos são suficientes para montar a equação que iguala as energias totais dos dois conjuntos.

Passo 3

Montando a equação de igualdade de energias usando as fórmulas acima e os dados do enunciado.
  • Energia total do primeiro sistema (30 osciladores, modo n, frequência \omega_1):
E_1 = 30 \,\hbar \,\omega_1 \left(n+\tfrac{1}{2}\right).
  • Energia total do segundo sistema (50 osciladores, modo n+1, frequência \omega_2):
E_2 = 50 \,\hbar \,\omega_2 \left(n+1+\tfrac{1}{2}\right) = 50 \,\hbar \,\omega_2 \left(n+\tfrac{3}{2}\right).
  • Igualando as energias dadas pelo enunciado E_1 = E_2 e usando a relação \omega_2 = 3\omega_1, temos:
30 \,\hbar \,\omega_1 \left(n+\tfrac{1}{2}\right) = 50 \,\hbar \,(3\omega_1) \left(n+\tfrac{3}{2}\right).

Passo 4

Resolver a equação algébrica passo a passo, simplificando termos que se cancelam.
  • Primeiro, podemos cancelar o fator comum \hbar \omega_1 dos dois lados (não é zero):
30 \left(n+\tfrac{1}{2}\right) = 150 \left(n+\tfrac{3}{2}\right).
  • Desenvolvendo ambos os lados:
30n + 30\cdot\tfrac{1}{2} = 150n + 150\cdot\tfrac{3}{2}.
Calcule as constantes:
30n + 15 = 150n + 225.
  • Isolando n: passe todos os termos em n para um lado e constantes para o outro:
30n - 150n = 225 - 15
-120n = 210.
  • Divide por -120:
n = -\dfrac{210}{120} = -\dfrac{21}{12} = -\dfrac{7}{4}.
Portanto a solução algébrica da equação de igualdade de energias é \displaystyle n = -\tfrac{7}{4}.

Passo 5

Interpretação física e conclusão didática:
  • O número quântico n de um oscilador harmônico quântico deve ser um inteiro não negativo: n \in \{0,1,2,\dots\}. A solução que encontramos, n = -\tfrac{7}{4}, é um número negativo e fracionário, ou seja, não é um estado físico permitido para o número quântico de um oscilador harmônico.
  • Conclusão: sob as hipóteses dadas (energia por nível E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12), segundo conjunto no modo n+1 e com \omega_2=3\omega_1), não existe nenhum modo inteiro e não-negativo n que satisfaça a igualdade das energias totais. Em termos práticos, os dados do problema levam a uma contradição física — a igualdade de energias não pode ocorrer para um modo físico inteiro.
  • Comentário final e encorajamento: às vezes questões colocam condições incompatíveis; identificar que a solução algébrica existe mas é não física (não inteiro, negativo) é uma resposta correta e útil na prova. Você fez bem em checar a validade física do resultado.

Resposta

Não existe modo de vibração inteiro não-negativo que satisfaça as condições; a solução formal da equação é n = -\tfrac{7}{4} (incompatível com n=0,1,2,\dots).

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