2- Um sistema composto de 30 osciladores harmônicos quânticos desacoplados igualmente excitados (com o mesmo modo de vibração) e com a mesma frequência tem a mesma energia que um sistema de 50 osciladores harmônicos quânticos desacoplados que estão igualmente excitados um modo a cima que os osciladores do conjunto anterior (com um modo de vibração a mais) e têm a mesma frequência de vibração. Se o segundo conjunto oscila com o triplo da frequência de oscilação do primeiro conjunto, qual é o modo de vibração desses dois conjuntos?
Passo 1
O enunciado dá duas configurações de osciladores e pede o “modo de vibração” comum dos dois conjuntos. Vou extrair e listar com clareza os dados e o que se pede:
- Primeiro sistema:
osciladores harmônicos quânticos desacoplados, todos igualmente excitados, com o mesmo modo de vibração (vou chamar esse modo de ) e todos com a mesma frequência (vou chamar de ). - Segundo sistema:
osciladores harmônicos quânticos desacoplados, todos igualmente excitados, cada oscilador estando “um modo acima” dos osciladores do primeiro conjunto — isto é, seu modo é (um nível quântico a mais por oscilador) — e todos esses têm a mesma frequência interna (vou chamar de ). - Informação extra do enunciado: o segundo conjunto oscila com o triplo da frequência do primeiro conjunto, isto é
. - Condição que relaciona os dois sistemas: a energia total do primeiro sistema é igual à energia total do segundo sistema.
- O que se pede: determinar o modo de vibração desses dois conjuntos, ou seja, encontrar
(o número quântico associado ao modo dos osciladores do primeiro conjunto; o segundo conjunto então está em ).
Observação: estou apenas organizando os dados e identificando o que o problema pede; ainda não resolvi nada neste passo.
Passo 2
Conceito básico necessário (com calma e sem pular etapas):
- Para o oscilador harmônico quântico isolado, os níveis de energia (valores permitidos) são dados pela fórmula
onde:
-
é a constante de Planck reduzida (constante, mesma para todos os osciladores), -
é a frequência angular do oscilador, -
é o número quântico do nível de energia, que toma valores inteiros , -
é a energia de ponto zero (energia mínimo do estado base). -
Se temos
osciladores idênticos e independe ntes (desacoplados), todos no mesmo nível e com a mesma frequência , a energia total do conjunto é simplesmente vezes a energia de cada oscilador:
Explicando as variáveis de novo de forma prática:
-
é o número de osciladores (aqui ou ), -
é o modo (número quântico) que queremos achar, -
é a frequência de cada conjunto (há para o primeiro conjunto e para o segundo).
Esses dois pontos são suficientes para montar a equação que iguala as energias totais dos dois conjuntos.
Passo 3
Montando a equação de igualdade de energias usando as fórmulas acima e os dados do enunciado.
- Energia total do primeiro sistema (30 osciladores, modo
, frequência ):
- Energia total do segundo sistema (50 osciladores, modo
, frequência ):
- Igualando as energias dadas pelo enunciado
e usando a relação , temos:
Passo 4
Resolver a equação algébrica passo a passo, simplificando termos que se cancelam.
- Primeiro, podemos cancelar o fator comum
dos dois lados (não é zero):
- Desenvolvendo ambos os lados:
Calcule as constantes:
- Isolando
: passe todos os termos em para um lado e constantes para o outro:
- Divide por
:
Portanto a solução algébrica da equação de igualdade de energias é
.
Passo 5
Interpretação física e conclusão didática:
- O número quântico
de um oscilador harmônico quântico deve ser um inteiro não negativo: . A solução que encontramos, , é um número negativo e fracionário, ou seja, não é um estado físico permitido para o número quântico de um oscilador harmônico. - Conclusão: sob as hipóteses dadas (energia por nível
, segundo conjunto no modo e com ), não existe nenhum modo inteiro e não-negativo que satisfaça a igualdade das energias totais. Em termos práticos, os dados do problema levam a uma contradição física — a igualdade de energias não pode ocorrer para um modo físico inteiro. - Comentário final e encorajamento: às vezes questões colocam condições incompatíveis; identificar que a solução algébrica existe mas é não física (não inteiro, negativo) é uma resposta correta e útil na prova. Você fez bem em checar a validade física do resultado.
Resposta
Não existe modo de vibração inteiro não-negativo que satisfaça as condições; a solução formal da equação é
(incompatível com
).