A separação de equilíbrio dos íons \mathrm{K}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}, no KCl , é cerca de 0,267 \mathrm{~nm}. (a) Calcule a energia potencial de atração dos íons. Assuma que os íons são cargas puntiformes. (b) A energia de ionização de potássio é 4,34 \mathrm{eV} e a afinidade eletrônica do cloro é -3,62 \mathrm{eV}. Calcule o valor para a energia de dissociação usando a suposição que a energia de repulsão é desprezível. (c) A energia de dissociação medida é 4,48 \mathrm{eV}. Qual é a energia devida à repulsão dos íons na separação de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Separação de equilíbrio entre os íons: \,0,267\\ \text{nm}\,.
    • Energia de ionização do potássio: \,4,34\\ \text{eV}\,.
    • Afinidade eletrônica do cloro: \,-3,62\\ \text{eV}\, (isto significa que ao adicionar um elétron ao Cl a energia liberada é 3,62\\ \text{eV}).
    • Energia de dissociação medida: \,4,48\\ \text{eV}\,.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a energia potencial de atração entre \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^- na separação dada, assumindo cargas puntiformes.
    (b) Usando a energia de ionização e a afinidade eletrônica e supondo que a energia de repulsão é desprezível, calcular a energia de dissociação prevista.
    (c) Dada a energia de dissociação medida, calcular a energia devido à repulsão dos íons na separação de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e explicar a fórmula que usamos para a energia potencial eletrostática entre duas cargas pontuais: a energia potencial (coulombiana) é
U=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r}.
Aqui:
  • \,q_1 e \,q_2 são as cargas das partículas (em coulombs),
  • \,r é a separação entre elas (em metros),
  • \,\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, e \,\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante k\approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\\ \text{N\,m}^2\text{/C}^2.
No caso de \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^- temos q_1=+e e q_2=-e, com e sendo a carga elementar \,e=1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \text{C}. Como são cargas opostas, U será negativa (atração).
Para trabalhar em elétron-volts (eV) há uma fórmula prática muito usada:
U\\ (\text{em eV}) = -\dfrac{14{,}399\\ \text{eV}\cdot\mathring{A}}{r\\ (\mathring{A})},
onde r em angstroms ( \mathring{A}) e o fator 14{,}399\\ \text{eV}\cdot\mathring{A} vem da conversão de k e^2 para essas unidades. Isso evita ficar convertendo para joules e depois para eV.

Passo 3

Converter a separação para angstroms:
0,267\\ \text{nm} = 2,67\\ \mathring{A}.
Agora aplicamos a fórmula prática para a energia potencial coulombiana (módulo e sinal de atração):
U = -\dfrac{14{,}399}{2,67}\\ \text{eV}.
Fazendo a divisão:
U \approx -5{,}392\\ \text{eV}.
Portanto a energia potencial de atração entre \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^- à separação dada é aproximadamente -5{,}39\\ \text{eV}. (Interpretação: é energia liberada ao aproximar as cargas até essa separação; o sinal negativo indica atração.)

Passo 4

Agora vamos entender como obter a energia de dissociação sem repulsão. Pense no processo inteiro formando os íons a partir dos átomos neutros e depois aproximando-os até a separação de equilíbrio:
  1. Para produzir \mathrm{K}^+ a partir de \mathrm{K} é preciso fornecer a energia de ionização \mathrm{IE}(\mathrm{K})=4{,}34\\ \text{eV} (custo, positivo).
  2. Ao adicionar um elétron ao \mathrm{Cl} para formar \mathrm{Cl}^- libera-se a energia da afinidade eletrônica; como a afinidade foi dada como -3{,}62\\ \text{eV}, isso significa que a formação do ânion libera 3{,}62\\ \text{eV} (energia negativa do processo).
  3. A energia líquida para formar os íons a partir dos átomos, desprezando interação eletrostática, é portanto
A = \mathrm{IE}(\mathrm{K}) - \text{EA}(\mathrm{Cl}) = 4{,}34 - 3{,}62 = 0{,}72\\ \text{eV}.
(Isto é o custo líquido para transformar os dois átomos em íons, antes de incluir a atração coulombiana.)

Passo 5

Agora juntamos as contribuições: quando os íons são formados e aproximados até a separação de equilíbrio, a energia liberada pela atração coulombiana é -5{,}392\\ \text{eV} (veja Passo 3). Então a energia total liberada ao formar o par iônico a partir dos átomos é
E_{\text{form}} = A + U = 0{,}72 + (-5{,}392) = -4{,}672\\ \text{eV}.
O sinal negativo significa que o processo libera energia; portanto a energia necessária para dissociar o par iônico (energia de dissociação) é o oposto disso:
D_0 = 4{,}672\\ \text{eV},
onde D_0 é a energia de dissociação prevista supondo que a repulsão entre íons seja desprezível.

Passo 6

Comparando com o valor experimental: o enunciado diz que a energia de dissociação medida é \,4{,}48\\ \text{eV}\,. A diferença entre a previsão sem repulsão e o valor medido dá a contribuição da repulsão na separação de equilíbrio. Se chamarmos de R essa energia de repulsão (positiva, porque reduz a energia de ligação), temos:
D_{\text{medida}} = D_0 - R.
Rearranjando,
R = D_0 - D_{\text{medida}} = 4{,}672 - 4{,}48 = 0{,}192\\ \text{eV}.
Assim, a energia devida à repulsão dos íons na separação de equilíbrio é aproximadamente 0{,}192\\ \text{eV}. Em palavras: a repulsão reduz a energia de ligação prevista em cerca de 0{,}19\\ \text{eV}.

Resposta

(a) -5{,}392\\ \text{eV}
(b) 4{,}672\\ \text{eV}
(c) 0{,}192\\ \text{eV}

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