Calcule a energia para a temperatura T no modelo de Debye, considerando fonões acústicos. Discuta, para baixas temperaturas ( T \ll \Theta_{D} ), a semelhança com a radiação de corpo negro de Planck.
42. Considere a cadeia linear infinita de átomos iguais interagindo com forças representadas por um modelo de molas elástica.
(a) Escreva a equação diferencial do movimento da n-ésima massa.
(b) Experimente uma solução em forma de onda e obtenha a relação de dispersão.
43. Repita o exercício anterior, considerando dois tipos diferentes de átomos dispostos alternadamente. Considerando que existem duas amplitudes, uma para átomos “pares” e outra para átomos “ímpares”, obtenha a dispersão do ramo óptico e a do ramo acústico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas principais:
No modelo de Debye para fonões acústicos, calcular a energia interna U(T) e, no limite de baixas temperaturas \bigl(T\ll\Theta_{D}\bigr), discutir a semelhança com a lei de radiação de corpo negro de Planck.
Para uma cadeia linear infinita de átomos idênticos ligados por molas, (a) escrever a equação do movimento da n-ésima massa e (b) obter a relação de dispersão a partir de uma solução em ondas.
Repetir o item anterior para uma cadeia diatômica (massas m e M alternadas), encontrando os ramos acústico e óptico da dispersão.
Conteúdos necessários: soma sobre modos vibracionais e aproximação contínua (modelo de Debye), mecânica clássica de redes monoméricas e diatômicas, métodos de solução por modos normais.
Passo 2
No modelo de Debye, tratamos fonões acústicos como modos harmônicos com frequências contínuas até um corte \omega_{D}. A energia interna é a soma sobre todos os modos:
U = \sum_{\mathbf{k}} \hbar\omega_{\mathbf{k}} \bigl(n_{\mathbf{k}} + \tfrac12\bigr),
onde n_{\mathbf{k}}=[\exp(\hbar\omega_{\mathbf{k}}/k_{B}T)-1]^{-1}. Em aproximação contínua, substituímos a soma por integral em \omega com densidade de estados g(\omega)=3N\,\omega^{2}/\omega_{D}^{3} (só acústicos) e desprezamos o termo zero-ponto para energia térmica:
Isso mostra U\propto T^{4} e, como C_{V}=dU/dT\propto T^{3}, reproduz o comportamento de Stefan–Boltzmann/Planck U_{\rm rad}\propto T^{4} para fótons, evidenciando analogia entre fonões acústicos e radiação de corpo negro.
Passo 4
(a) Na cadeia monomérica com massa m em cada sítio e constante da mola k, denotando u_{n}(t) o deslocamento da massa n, a força resultante é