Considere o modelo de Einstein para o calor específico dos sólidos. Considerando o regime de alta temperatura k_{B} T \gg \varepsilon_{0}, recupere o resultado clássico da energia e calor específico (lei de Dulong-Petit).

Passo 1

O enunciado pede para usar o modelo de Einstein de um sólido – no qual cada átomo vibra como três osciladores harmónicos independentes de energia quântica base \varepsilon_{0} – e mostrar que, no limite de alta temperatura k_{B}T\gg\varepsilon_{0}, a energia interna e o calor específico reduzem-se às leis clássicas de Dulong–Petit.

Passo 2

No modelo de Einstein a energia média de um oscilador quântico é
\bigl\langle E\bigr\rangle \;=\;\frac{\varepsilon_{0}}{e^{\beta\,\varepsilon_{0}}-1}\;+\;\frac{\varepsilon_{0}}{2},
onde \beta=1/(k_{B}T). A parcela \varepsilon_{0}/2 é a energia de ponto zero e não contribui para o calor específico porque é independente de T.

Passo 3

No regime de alta temperatura temos \beta\,\varepsilon_{0}\ll1. Então
e^{\beta\,\varepsilon_{0}}-1 \approx \beta\,\varepsilon_{0} + \tfrac{1}{2}(\beta\,\varepsilon_{0})^{2}+\cdots \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{e^{\beta\,\varepsilon_{0}}-1}\approx\frac{1}{\beta\,\varepsilon_{0}}-\tfrac12+\cdots.
Logo,
\bigl\langle E\bigr\rangle \approx \varepsilon_{0}\Bigl(\frac{1}{\beta\,\varepsilon_{0}}-\tfrac12\Bigr)+\tfrac{\varepsilon_{0}}{2} =\;k_{B}T + O(\beta\,\varepsilon_{0}).

Passo 4

Como cada átomo fornece três osciladores, o total de oscilações é 3N. Assim a energia interna do sólido é
U=\sum_{i=1}^{3N}\bigl\langle E_{i}\bigr\rangle\approx 3N\,k_{B}T.
O calor específico a volume constante é
C_{V}=\frac{\partial U}{\partial T}\approx 3N\,k_{B}.

Resposta

A energia interna clássica é
U=3N\,k_{B}T
e o calor específico de Dulong–Petit é
C_{V}=3N\,k_{B}.

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